Szerk
P. 5684. Egyenletes vastagságú drótból az ábrán látható keretet készítjük el. Számítsuk ki az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti eredő ellenállások arányát!
(5 pont)
Közli: Cserti József, Budapest
I. megoldás. Az egyenletes vastagság miatt a drótok ellenállása arányos a hosszúságukkal. Legyen a kis négyzetek egy-egy oldalának ellenállása \(\displaystyle R\). Az áttekinthetőség kedvéért az 1. ábrán látható módon további csúcsokat is megjelölünk.
1. ábra
1. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállás meghatározása.
Rajzoljuk át a kapcsolást áttekinthetőbb formába (2. ábra).
2. ábra
A felső ág középső részének eredő ellenállása:
Ezt felhasználva a 2. ábra egyszerűsíthető. A 3. ábrán (a szimmetriát kihasználva) berajzoljuk az egyes ágak áramát is.
3. ábra
A Kirchhoff-féle csomóponti törvény az \(\displaystyle A\) pontra:
A Kirchhoff-féle huroktörvény az \(\displaystyle ADE\) és a \(\displaystyle DGFE\) hurkokra:
Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva:
\(\displaystyle I_1=\frac{3}{8}I,\quad I_2=\frac{5}{8}I,\quad I_3=\frac{1}{8}I. \)
A potenciálkülönbség \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) között:
\(\displaystyle U_{AB}=RI_2+R(I_2+I_3)+RI_2=3RI_2+RI_3=\frac{15}{8}RI+\frac{1}{8}RI=2RI, \)
és ebből az eredő ellenállás:
\(\displaystyle R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I}=2R. \)
2. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti ellenállás meghatározása.
Az áramkör átrajzolása a 4. ábrán látható. A szimmetria miatt a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), illetve az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle H\) pontok ekvipotenciálisak, így a \(\displaystyle DE\) és az \(\displaystyle IH\) ágakon (az ábrán halványan rajzolva) nem folyik áram, azok elhagyhatók.
4. ábra
Az áramkör soros és párhuzamos kapcsolásokból áll, eredő ellenállása könnyen meghatározható:
\(\displaystyle R_{AC}=\frac{1}{2}\left(R+R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R+R\right)=\frac{5}{2}R=2{,}5R. \)
3. A két eredő ellenállás aránya:
\(\displaystyle \frac{R_{AB}}{R_{AC}}=\frac{2R}{2{,}5R}=\frac{4}{5}=0{,}8. \)
Ferencz Kevin (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 11. évf.)
II. megoldás. Az \(\displaystyle R_{AB}\) ellenállás meghatározásánál a nehézséget a 2. ábrán látható \(\displaystyle ADE\) és \(\displaystyle BGF\) ellenállás-háromszögek jelentik. Ezeket delta–csillag átalakítással szüntethetjük meg. Az átalakítás az 5. ábrán látható, a csillagkapcsolás ellenállásértékeit a Függvénytáblázatban található képletekkel határoztuk meg:
5. ábra
Ezt az átalakítást, valamint az (1) összefüggést felhasználva a kapcsolás a 6. ábrán látható módon rajzolható át. (A \(\displaystyle BGF\) háromszög a szimmetria miatt ugyanúgy alakítható át, mint az \(\displaystyle ADE\).)
6. ábra
Ezután az eredő ellenállás már könnyen meghatározható:
A megoldás többi része megegyezik az I. megoldással.
32 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 9, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
