A P. 5684. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5684. Egyenletes vastagságú drótból az ábrán látható keretet készítjük el. Számítsuk ki az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti eredő ellenállások arányát!

(5 pont)

Közli: Cserti József, Budapest

I. megoldás. Az egyenletes vastagság miatt a drótok ellenállása arányos a hosszúságukkal. Legyen a kis négyzetek egy-egy oldalának ellenállása \(\displaystyle R\). Az áttekinthetőség kedvéért az 1. ábrán látható módon további csúcsokat is megjelölünk.

1. ábra

1. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok közötti ellenállás meghatározása.

Rajzoljuk át a kapcsolást áttekinthetőbb formába (2. ábra).

2. ábra

A felső ág középső részének eredő ellenállása:

Ezt felhasználva a 2. ábra egyszerűsíthető. A 3. ábrán (a szimmetriát kihasználva) berajzoljuk az egyes ágak áramát is.

3. ábra

A Kirchhoff-féle csomóponti törvény az \(\displaystyle A\) pontra:

A Kirchhoff-féle huroktörvény az \(\displaystyle ADE\) és a \(\displaystyle DGFE\) hurkokra:

Az (1), (2) és (3) egyenletekből álló egyenletrendszert megoldva:

\(\displaystyle I_1=\frac{3}{8}I,\quad I_2=\frac{5}{8}I,\quad I_3=\frac{1}{8}I. \)

A potenciálkülönbség \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) között:

\(\displaystyle U_{AB}=RI_2+R(I_2+I_3)+RI_2=3RI_2+RI_3=\frac{15}{8}RI+\frac{1}{8}RI=2RI, \)

és ebből az eredő ellenállás:

\(\displaystyle R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I}=2R. \)

2. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontok közötti ellenállás meghatározása.

Az áramkör átrajzolása a 4. ábrán látható. A szimmetria miatt a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\), illetve az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle H\) pontok ekvipotenciálisak, így a \(\displaystyle DE\) és az \(\displaystyle IH\) ágakon (az ábrán halványan rajzolva) nem folyik áram, azok elhagyhatók.

4. ábra

Az áramkör soros és párhuzamos kapcsolásokból áll, eredő ellenállása könnyen meghatározható:

\(\displaystyle R_{AC}=\frac{1}{2}\left(R+R+\frac{1}{2}\cdot 2R+R+R\right)=\frac{5}{2}R=2{,}5R. \)

3. A két eredő ellenállás aránya:

\(\displaystyle \frac{R_{AB}}{R_{AC}}=\frac{2R}{2{,}5R}=\frac{4}{5}=0{,}8. \)

Ferencz Kevin (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 11. évf.)

II. megoldás. Az \(\displaystyle R_{AB}\) ellenállás meghatározásánál a nehézséget a 2. ábrán látható \(\displaystyle ADE\) és \(\displaystyle BGF\) ellenállás-háromszögek jelentik. Ezeket delta–csillag átalakítással szüntethetjük meg. Az átalakítás az 5. ábrán látható, a csillagkapcsolás ellenállásértékeit a Függvénytáblázatban található képletekkel határoztuk meg:

5. ábra

Ezt az átalakítást, valamint az (1) összefüggést felhasználva a kapcsolás a 6. ábrán látható módon rajzolható át. (A \(\displaystyle BGF\) háromszög a szimmetria miatt ugyanúgy alakítható át, mint az \(\displaystyle ADE\).)

6. ábra

Ezután az eredő ellenállás már könnyen meghatározható:

A megoldás többi része megegyezik az I. megoldással.

32 dolgozat érkezett. Helyes 12 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 9, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.