Szerk
P. 5682. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle H\) magasságú hengerben folyadék van. A hengert a tengelye körül forgásba hozzuk. A forgás szögsebességét lassan növeljük egészen addig, amíg a folyadék széle felhúzódik egészen az edény szájáig. Ekkor a pohár aljának közepéről éppen ,,eltűnik'' a folyadék.
a) Mekkora az edény legnagyobb szögsebessége?
b) Milyen magasan áll a folyadék a hengerben induláskor?
(5 pont)
Közli: Simon Péter, Pécs
Megoldás. a) Tegyük fel, hogy a henger \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forog, és a víz formája a feladatnak megfelelő. Nyilván a víz felszíne forgásszimmetrikus, tehát bármely, a henger forgástengelyén áthaladó keresztmetszet ugyanolyan formájú lesz. Legyen valamely keresztmetszet felszínének az egyenlete \(\displaystyle h(r)\), ahol \(\displaystyle r=0\) a forgástengely és \(\displaystyle h=0\) a henger alaplapja.
Vegyünk egy \(\displaystyle m\) tömegű vízrészecskét a felszínen, amely \(\displaystyle x\) távolságra van a forgástengelytől. A forgó hengerhez rögzített vonatkoztatási rendszerben erre a részecskére hat az \(\displaystyle mg\) nagyságú, függőleges irányú nehézségi erő, az \(\displaystyle m\omega^2r\) nagyságú, vízszintes irányú centrifugális erő (tehetetlenségi erő), és egy, a folyadék felületére merőleges irányú nyomóerő (1. ábra). Ahhoz, hogy a részecske egyensúlyban legyen, a nehézségi erő és a centrifugális erő vektoriális összegének merőlegesnek kell lennie a felületre.
1. ábra
A felület meredeksége \(\displaystyle h'(r)\), amiből
ahol \(\displaystyle h(0)=0\) alapján az integrációs állandó \(\displaystyle c=0\). Ezen kívül a feladat szövege alapján \(\displaystyle h(R)=H\), amiből:
\(\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2gH}}{R}. \)
b) Határozzuk meg a folyadékból hiányzó forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatát! Ehhez osszuk fel a testet \(\displaystyle \mathrm{d}h\) magasságú henger alakú szeletekre (2. ábra).
2. ábra
A \(\displaystyle h\) magasságban lévő szelet sugara (2) alapján:
\(\displaystyle r(h)=\frac{\sqrt{2gh}}{\omega}, \)
térfogata pedig:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{2gh}{\omega^2}\pi\,\mathrm{d}h. \)
A keresett térfogat integrálással határozható meg:
\(\displaystyle V=\frac{2g\pi}{\omega^2}\int\limits_0^H h\,\mathrm{d}h=\frac{gH^2\pi}{\omega^2}=\frac{HR^2\pi}{2}. \)
(Az utolsó lépésben \(\displaystyle \omega\) előző részben megkapott kifejezését helyettesítettük be.) A teljes henger térfogata \(\displaystyle HR^2\pi\), tehát a forgási paraboloid térfogatának kétszerese. Így a folyadék térfogata megegyezik a forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatával, amiből a folyadék magassága induláskor:
\(\displaystyle H_0=\frac{V}{R^2\pi}=\frac{H}{2}. \)
Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. A forgási paraboloid metszetének egyenlete meghatározható geometriai megfontolásokkal is. A parabolatükör a tengelyével párhuzamos fénysugarakat a fókuszpontba gyűjti (3. ábra). A parabola geometriai definíciója szerint a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (\(\displaystyle PF=PP'\)). Az \(\displaystyle F\) fókuszpont és a \(\displaystyle v\) vezéregyenes távolsága a parabola \(\displaystyle p\) paramétere, amellyel a parabola egyenlete:
\(\displaystyle h=\frac{1}{2p}r^2. \)
3. ábra
A 3. ábráról leolvashatóan a görbe érintője az \(\displaystyle FPP'\) egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye, így az \(\displaystyle FP'\) szakasz merőleges rá. Ezért a merőleges szárú szögek miatt:
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{r}{p}. \)
Ezek alapján (1) felhasználásával (\(\displaystyle \tg\alpha=h'(r)\)):
a megoldásban kapott kifejezéssel összhangban.
2. A folyadék térfogata a forgástestekre ismert számítási módszerrel is meghatározható. Ekkor a forgástestet \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \mathrm{d}r\) vastagságú, \(\displaystyle h(r)\) magasságú hengergyűrűkre bontjuk (4. ábra), amelyek térfogata:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=2r\pi h(r)\,\mathrm{d}r. \)
Behelyettesítve \(\displaystyle h(r)\) (2)-ben megkapott kifejezését, és az integrálást elvégezve:
\(\displaystyle V=\int\limits_0^R\frac{2H\pi}{R^2}r^3\,\mathrm{d}r=\frac{2H\pi}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{HR^2\pi}{2}, \)
az előző eredménnyel összhangban.
4. ábra
40 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (1–3 pont) 10, nem versenyszerű 1, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
