A P. 5679. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).

a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?

b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?

(4 pont)

Közli: Wiedemann László, Budapest

I. megoldás. a) A testek helyzete a mozgás kezdetekor és a közös mozgás elérésekor az ábrán látható.

Eközben a rendszerre nem hat vízszintes külső erő, így alkalmazható a lendületmegmaradás törvénye:

\(\displaystyle mv_0=(m+M)u, \)

amiből

\(\displaystyle u=\frac{m}{m+M}v_0=\frac{1}{3}v_0. \)

A munkatétel szerint a rendszer mozgási energiáját a súrlódási munka csökkenti:

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2-\mu mg\ell=\frac{1}{2}(m+M)u^2, \)

amiből \(\displaystyle u\) kifejezését (és \(\displaystyle M=2m\)-et) behelyettesítve, majd rendezve:

\(\displaystyle v_0=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)

Megjegyzés. A súrlódási munkát a súrlódási erő és a relatív elmozdulás szorzataként kaptuk meg. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a súrlódási erő munkáját mindkét testre kiszámítjuk, és ezeket összeadjuk. A súrlódási erő a kocsit \(\displaystyle s\) úton gyorsítja, a kis testet pedig \(\displaystyle s+\ell\) úton fékezi:

\(\displaystyle W_\mathrm{s}=\mu mgs-\mu mg(s+\ell)=-\mu mg\ell. \)

b) Ismét felírhatjuk a lendület megmaradását:

A munkatétel ebben az esetben:

Felhasználva (1)-et, majd behelyettesítve az előző részben \(\displaystyle v_0\)-ra kapott eredményt:

A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása megadja a kocsi sebességét a kis test leesésének pillanatában:

\(\displaystyle v_2=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)

(A másik megoldásból a kis testre negatív sebesség adódna, ami nem lehetséges.) A kis test sebessége ebből (1) alapján:

\(\displaystyle u_2=2(v_0-v_2)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)

Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.)

II. megoldás. a) A kocsit az \(\displaystyle mg\mu\) súrlódási erő gyorsítja:

\(\displaystyle Ma_0=mg\mu, \)

amiből

\(\displaystyle a_0=\frac{mg\mu}{M}=\frac{\mu}{2}g. \)

A kocsival együtt mozgó (\(\displaystyle a_0\) gyorsulással gyorsuló) vonatkoztatási rendszerben a kis test mozgásegyenlete (figyelembe véve a \(\displaystyle -ma_0\) tehetetlenségi erőt is):

\(\displaystyle ma_\mathrm{rel}=-mg\mu-ma_0, \)

amiből (az \(\displaystyle a_0\)-ra kapott eredményt felhasználva):

\(\displaystyle a_\mathrm{rel}=-\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g=-\frac{3\mu}{2}g. \)

A kis test \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről indulva ekkora (negatív) gyorsulással \(\displaystyle \ell\) úton áll meg, amiből:

\(\displaystyle v_0=\sqrt{2\ell|a_\mathrm{rel}|}=\sqrt{2\ell\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g}=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)

b) A \(\displaystyle v_1=2v_0\) kezdősebesség esetében a mozgást ismét a kocsival együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk. A kis test relatív gyorsulása megegyezik az előző részben meghatározott \(\displaystyle a_\mathrm{rel}\) értékkel. Ez alapján a mozgás idejére egy másodfokú egyenletet írhatunk fel:

amelynek a fizikailag értelmes megoldása \(\displaystyle v_0\) kifejezését felhasználva:

\(\displaystyle t=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-2\right)\sqrt{\frac{\ell}{\mu g}}\approx 0{,}11~\mathrm{s}. \)

Ebből a kis test lerepülésekor a kocsi végsebessége:

\(\displaystyle v_2=a_0t=\frac{\mu}{2}gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m/s}, \)

a kis test földhöz viszonyított sebessége pedig (felhasználva, hogy a kis test földhöz viszonyított gyorsulása \(\displaystyle a=-\mu g\)):

\(\displaystyle u_2=v_1+at=2v_0-\mu gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)

Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)

42 dolgozat érkezett. Helyes 26 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 6, hiányos (1–2 pont) 8, hibás 1, nem értékelt 1 dolgozat.