Szerk
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
(4 pont)
Közli: Wiedemann László, Budapest
I. megoldás. a) A testek helyzete a mozgás kezdetekor és a közös mozgás elérésekor az ábrán látható.
Eközben a rendszerre nem hat vízszintes külső erő, így alkalmazható a lendületmegmaradás törvénye:
\(\displaystyle mv_0=(m+M)u, \)
amiből
\(\displaystyle u=\frac{m}{m+M}v_0=\frac{1}{3}v_0. \)
A munkatétel szerint a rendszer mozgási energiáját a súrlódási munka csökkenti:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2-\mu mg\ell=\frac{1}{2}(m+M)u^2, \)
amiből \(\displaystyle u\) kifejezését (és \(\displaystyle M=2m\)-et) behelyettesítve, majd rendezve:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Megjegyzés. A súrlódási munkát a súrlódási erő és a relatív elmozdulás szorzataként kaptuk meg. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a súrlódási erő munkáját mindkét testre kiszámítjuk, és ezeket összeadjuk. A súrlódási erő a kocsit \(\displaystyle s\) úton gyorsítja, a kis testet pedig \(\displaystyle s+\ell\) úton fékezi:
\(\displaystyle W_\mathrm{s}=\mu mgs-\mu mg(s+\ell)=-\mu mg\ell. \)
b) Ismét felírhatjuk a lendület megmaradását:
A munkatétel ebben az esetben:
Felhasználva (1)-et, majd behelyettesítve az előző részben \(\displaystyle v_0\)-ra kapott eredményt:
A másodfokú egyenlet fizikailag értelmes megoldása megadja a kocsi sebességét a kis test leesésének pillanatában:
\(\displaystyle v_2=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
(A másik megoldásból a kis testre negatív sebesség adódna, ami nem lehetséges.) A kis test sebessége ebből (1) alapján:
\(\displaystyle u_2=2(v_0-v_2)=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. a) A kocsit az \(\displaystyle mg\mu\) súrlódási erő gyorsítja:
\(\displaystyle Ma_0=mg\mu, \)
\(\displaystyle a_0=\frac{mg\mu}{M}=\frac{\mu}{2}g. \)
A kocsival együtt mozgó (\(\displaystyle a_0\) gyorsulással gyorsuló) vonatkoztatási rendszerben a kis test mozgásegyenlete (figyelembe véve a \(\displaystyle -ma_0\) tehetetlenségi erőt is):
\(\displaystyle ma_\mathrm{rel}=-mg\mu-ma_0, \)
amiből (az \(\displaystyle a_0\)-ra kapott eredményt felhasználva):
\(\displaystyle a_\mathrm{rel}=-\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g=-\frac{3\mu}{2}g. \)
A kis test \(\displaystyle v_0\) kezdősebességről indulva ekkora (negatív) gyorsulással \(\displaystyle \ell\) úton áll meg, amiből:
\(\displaystyle v_0=\sqrt{2\ell|a_\mathrm{rel}|}=\sqrt{2\ell\left(1+\frac{m}{M}\right)\mu g}=\sqrt{3\mu\ell g}\approx 1{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
b) A \(\displaystyle v_1=2v_0\) kezdősebesség esetében a mozgást ismét a kocsival együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk. A kis test relatív gyorsulása megegyezik az előző részben meghatározott \(\displaystyle a_\mathrm{rel}\) értékkel. Ez alapján a mozgás idejére egy másodfokú egyenletet írhatunk fel:
amelynek a fizikailag értelmes megoldása \(\displaystyle v_0\) kifejezését felhasználva:
\(\displaystyle t=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-2\right)\sqrt{\frac{\ell}{\mu g}}\approx 0{,}11~\mathrm{s}. \)
Ebből a kis test lerepülésekor a kocsi végsebessége:
\(\displaystyle v_2=a_0t=\frac{\mu}{2}gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 0{,}11~\mathrm{m/s}, \)
a kis test földhöz viszonyított sebessége pedig (felhasználva, hogy a kis test földhöz viszonyított gyorsulása \(\displaystyle a=-\mu g\)):
\(\displaystyle u_2=v_1+at=2v_0-\mu gt=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mu\ell g}\approx 2{,}2~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 12. évf.)
42 dolgozat érkezett. Helyes 26 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 6, hiányos (1–2 pont) 8, hibás 1, nem értékelt 1 dolgozat.
P. 5682. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle H\) magasságú hengerben folyadék van. A hengert a tengelye körül forgásba hozzuk. A forgás szögsebességét lassan növeljük egészen addig, amíg a folyadék széle felhúzódik egészen az edény szájáig. Ekkor a pohár aljának közepéről éppen ,,eltűnik'' a folyadék.
a) Mekkora az edény legnagyobb szögsebessége?
b) Milyen magasan áll a folyadék a hengerben induláskor?
(5 pont)
Közli: Simon Péter, Pécs
Megoldás. a) Tegyük fel, hogy a henger \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forog, és a víz formája a feladatnak megfelelő. Nyilván a víz felszíne forgásszimmetrikus, tehát bármely, a henger forgástengelyén áthaladó keresztmetszet ugyanolyan formájú lesz. Legyen valamely keresztmetszet felszínének az egyenlete \(\displaystyle h(r)\), ahol \(\displaystyle r=0\) a forgástengely és \(\displaystyle h=0\) a henger alaplapja.
Vegyünk egy \(\displaystyle m\) tömegű vízrészecskét a felszínen, amely \(\displaystyle x\) távolságra van a forgástengelytől. A forgó hengerhez rögzített vonatkoztatási rendszerben erre a részecskére hat az \(\displaystyle mg\) nagyságú, függőleges irányú nehézségi erő, az \(\displaystyle m\omega^2r\) nagyságú, vízszintes irányú centrifugális erő (tehetetlenségi erő), és egy, a folyadék felületére merőleges irányú nyomóerő (1. ábra). Ahhoz, hogy a részecske egyensúlyban legyen, a nehézségi erő és a centrifugális erő vektoriális összegének merőlegesnek kell lennie a felületre.
1. ábra
A felület meredeksége \(\displaystyle h'(r)\), amiből
ahol \(\displaystyle h(0)=0\) alapján az integrációs állandó \(\displaystyle c=0\). Ezen kívül a feladat szövege alapján \(\displaystyle h(R)=H\), amiből:
\(\displaystyle \omega=\frac{\sqrt{2gH}}{R}. \)
b) Határozzuk meg a folyadékból hiányzó forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatát! Ehhez osszuk fel a testet \(\displaystyle \mathrm{d}h\) magasságú henger alakú szeletekre (2. ábra).
2. ábra
A \(\displaystyle h\) magasságban lévő szelet sugara (2) alapján:
\(\displaystyle r(h)=\frac{\sqrt{2gh}}{\omega}, \)
térfogata pedig:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{2gh}{\omega^2}\pi\,\mathrm{d}h. \)
A keresett térfogat integrálással határozható meg:
\(\displaystyle V=\frac{2g\pi}{\omega^2}\int\limits_0^H h\,\mathrm{d}h=\frac{gH^2\pi}{\omega^2}=\frac{HR^2\pi}{2}. \)
(Az utolsó lépésben \(\displaystyle \omega\) előző részben megkapott kifejezését helyettesítettük be.) A teljes henger térfogata \(\displaystyle HR^2\pi\), tehát a forgási paraboloid térfogatának kétszerese. Így a folyadék térfogata megegyezik a forgási paraboloid \(\displaystyle V\) térfogatával, amiből a folyadék magassága induláskor:
\(\displaystyle H_0=\frac{V}{R^2\pi}=\frac{H}{2}. \)
Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
Megjegyzések. 1. A forgási paraboloid metszetének egyenlete meghatározható geometriai megfontolásokkal is. A parabolatükör a tengelyével párhuzamos fénysugarakat a fókuszpontba gyűjti (3. ábra). A parabola geometriai definíciója szerint a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza (\(\displaystyle PF=PP'\)). Az \(\displaystyle F\) fókuszpont és a \(\displaystyle v\) vezéregyenes távolsága a parabola \(\displaystyle p\) paramétere, amellyel a parabola egyenlete:
\(\displaystyle h=\frac{1}{2p}r^2. \)
3. ábra
A 3. ábráról leolvashatóan a görbe érintője az \(\displaystyle FPP'\) egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye, így az \(\displaystyle FP'\) szakasz merőleges rá. Ezért a merőleges szárú szögek miatt:
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{r}{p}. \)
Ezek alapján (1) felhasználásával (\(\displaystyle \tg\alpha=h'(r)\)):
a megoldásban kapott kifejezéssel összhangban.
2. A folyadék térfogata a forgástestekre ismert számítási módszerrel is meghatározható. Ekkor a forgástestet \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle \mathrm{d}r\) vastagságú, \(\displaystyle h(r)\) magasságú hengergyűrűkre bontjuk (4. ábra), amelyek térfogata:
\(\displaystyle \mathrm{d}V=2r\pi h(r)\,\mathrm{d}r. \)
Behelyettesítve \(\displaystyle h(r)\) (2)-ben megkapott kifejezését, és az integrálást elvégezve:
\(\displaystyle V=\int\limits_0^R\frac{2H\pi}{R^2}r^3\,\mathrm{d}r=\frac{2H\pi}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{HR^2\pi}{2}, \)
az előző eredménnyel összhangban.
4. ábra
40 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (1–3 pont) 10, nem versenyszerű 1, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
