A C. 1833. gyakorlat megoldása

Szerk

C. 1833. Oldjuk meg az

$$\begin{align*} a+c&=b,\\ a^3-c&=b^2,\\ a+b&=c^3\end{align*}$$

egyenletekből álló egyenletrendszert, ha $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ természetes számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

1. megoldás. Az egyenletrendszer első két egyenletének összeadásával $\displaystyle a+a^3=b^2+b$, a kapott egyenlet mindkét oldalához $\displaystyle b$-t adva

$\displaystyle a+b+a^3=b^2+2b. $

A harmadik egyenlet szerint $\displaystyle a+b=c^3$, ezért

$\displaystyle a^3+c^3=b^2+2b. $

Alkalmazzuk az $\displaystyle a^3+c^3=(a+c)(a^2-ac+c^2)$ azonosságot, ezzel az előző egyenletből $\displaystyle (a+c)(a^2-ac+c^2)=b^2+2b$ adódik, ebből pedig

$\displaystyle b(a^2-ac+c^2)=b^2+2b.$

$\displaystyle {(1)} $

Ha az (1) egyenletben $\displaystyle b=0$, akkor a feltételek és $\displaystyle a+c=b$ miatt $\displaystyle a=0$ és $\displaystyle c=0$. Számolással ellenőrizhető, hogy az

$\displaystyle a=0,\quad b=0, \quad c=0 $

számhármas megoldása az egyenletrendszernek.

Ha $\displaystyle b\neq 0$, akkor oszthatunk vele, így (1)-ből az $\displaystyle a^2-ac+c^2=b+2=a+c+2$, ebből pedig az $\displaystyle a^2-a+c^2-c-ac=2$ egyenletet kapjuk.

Ekvivalens átalakítással $\displaystyle (a-1)^2+(c-1)^2+a+c-ac-2=2$, illetve

$\displaystyle (a-1)^2+(c-1)^2+a+c-ac=4.$

$\displaystyle {(2)} $

Az $\displaystyle a^2-a+c^2-c-ac=2$ egyenletből az is következik, hogy $\displaystyle (a-c)^2+ac=a+c+2$, azaz $\displaystyle (a-c)^2-2=a+c-ac$.

Ezt beírva a (2) egyenletbe

$\displaystyle (a-1)^2+(c-1)^2+(a-c)^2=6.$

$\displaystyle {(3)} $

Három négyzetszám összege csak úgy lehet 6, ha az egyik négyzetszám 4, a másik kettő 1, ezért három esetet kell megvizsgálnunk: (a-1)2=1,  (c-1)2=1,  (a-c)2=4,\tag*(i)
(a-1)2=1,  (c-1)2=4,  (a-c)2=1,\tag*(ii)
(a-1)2=4,  (c-1)2=1,  (a-c)2=1.\tag*(iii) Az (i) esetben csak $\displaystyle a=0$, $\displaystyle c=2$ vagy $\displaystyle a=2$, $\displaystyle c=0$ lenne lehetséges, ellenkező esetben nem teljesül az $\displaystyle (a-c)^2=4$ egyenlőség.

Azonban sem $\displaystyle a=0$, $\displaystyle c=2$, sem pedig $\displaystyle a=2$, $\displaystyle c=0$ nem ad megoldást, mert az előbbi ellentmond az eredeti egyenletrendszer második, utóbbi a harmadik egyenletének.

Az (ii) csak úgy volna lehetséges, ha $\displaystyle a=0$ vagy $\displaystyle a=2$, illetve $\displaystyle c=3$ vagy $\displaystyle {c=-1}$. Az ezekből képezhető négy számpár közül nyilván nem felel meg az a kettő, amelyben $\displaystyle {c=-1}$, a másik kettő közül csak az $\displaystyle a=2$, $\displaystyle c=3$ felel meg az $\displaystyle (a-c)^2=1$ feltételnek. Ebből azonban $\displaystyle b=5$ következne, de az $\displaystyle a=2$, $\displaystyle b=5$, $\displaystyle c=3$ számhármas nem felel meg az egyenletrendszer második és harmadik egyenletének.

Végül az (iii) eset első két egyenlete szerint $\displaystyle a=3$ vagy $\displaystyle a=-1$, illetve $\displaystyle c=0$ vagy $\displaystyle c=2$.

Az innen kapható négy számpár közül az $\displaystyle a=-1$-et tartalmazó két pár a feltétel miatt nem ad megoldást. Az $\displaystyle a=3$, $\displaystyle c=0$ számpár sem megoldás, mert ellentmond az eredeti egyenletrendszer harmadik egyenletének.

Az $\displaystyle a=3$, $\displaystyle c=2$ számpárból $\displaystyle b=5$ adódik, és az $\displaystyle a=3$, $\displaystyle b=5$, $\displaystyle c=2$ számhármas kielégíti mindhárom kiinduló egyenletet.

Minden esetet megvizsgáltunk és azt kaptuk, hogy az egyenletrendszer mindhárom egyenletét csak az

$\displaystyle a=0, \quad b=0, \quad c=0; \qquad\qquad a=3, \quad b=5,\quad c=2 $

számhármasok elégítik ki.

(A honlapon látható 1. megoldás)

2. megoldás. Kifejezzük $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ értékét $\displaystyle c$ segítségével. Az első egyenletből $\displaystyle {a\!=\!b\!-\!c}$, ahonnan a harmadik egyenlet segítségével $\displaystyle b-c+b=c^3$, azaz $\displaystyle 2b=c^3+c$, és ezért

$\displaystyle b=\frac{c^3+c}{2};\qquad a=\frac{c^3-c}{2}.$

$\displaystyle {(4)} $

A (4) kifejezéseket visszahelyettesítjük az egyenletrendszer második egyenletébe:

$\displaystyle \left(\frac{c^3-c}{2}\right)^3-c=\left(\frac{c^3+c}{2}\right)^2, $

ahonnan a műveletek elvégzésével és rendezéssel

$\displaystyle \frac{c^9-3c^7+3c^5-c^3}{8}-c=\frac{c^6+2c^4+c^2}{4}, $

ebből $\displaystyle 8$-cal való szorzással és nullára rendezéssel

$\displaystyle c^9-3c^7-2c^6+3c^5-4c^4-c^3-2c^2-8c=0.$

$\displaystyle {(5)} $

Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy az (5) egyenletnek $\displaystyle c=0$ és $\displaystyle c=2$ megoldása, amiből polinomosztás segítségével

$\displaystyle c(c-2)\bigl(c^7+2c^6+c^5+3c^3+2c^2+3c+4\bigr)=0$

$\displaystyle {(6)} $

következik.

A (6) összefüggésben látható zárójeles kifejezés értéke legalább $\displaystyle 4$ bármely $\displaystyle c$ természetes szám esetén, ezért nem lehet $\displaystyle 0$. Eszerint csakis $\displaystyle c=0$ és $\displaystyle c=2$ lehetséges. A kapott két számnak (4)-be való helyettesítésével adódik az egyenletrendszer két megoldása:

$\displaystyle a=0,\quad b=0,\quad c=0;\qquad\qquad a=2,\quad b=5,\quad c=2. $

Az eredeti egyenletrendszer egyenleteibe helyettesítve ellenőrizhetjük, hogy ez a két számhármas valóban megoldása az egyenletrendszernek.

Kallós Klára (Nyíregyháza, Szent Imre Kat. Gimn., Ált. Isk., 7. o. t.)

Megjegyzés. A helyes és teljes megoldások jelentős része a 2. megoldás valamilyen változatának megfelelő volt, a versenyzők közül néhányan az 1. megoldáshoz hasonló dolgozatot adtak be.

A feladatra 189 megoldás érkezett, ebből 35 dolgozat a maximális 5 pontot, 17 dolgozat 4, 12 dolgozat 3, 40 dolgozat 2 pontot, 64 dolgozat 1, végül 19 dolgozat 0 pontot kapott. Két beküldött munkára a javító a „nem versenyszerű” minősítést adta. A születési dátum, vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt 14 versenyző pontszáma nem számított bele a pontversenybe.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?