A G. 888. fizika gyakorlat megoldása

Szerk

G. 888. Egy vidámparkban egy hatalmas, forgó henger belsejében a henger palástjánál elhelyezett ferde felülethez tapadnak az emberek. A henger sugara \(\displaystyle {R=5~\mathrm{m}}\), a tapadási súrlódási együttható \(\displaystyle {\mu=0{,}25}\), a ferde felület az ábrán látható módon \(\displaystyle {\vartheta=30^{\circ}}\)-os szöget zár be a függőlegessel.

a) Legalább és legfeljebb mennyi lehet a henger szögsebessége, hogy az emberek se lefelé, se felfelé ne csússzanak?

b) Mekkora lehet a súrlódási együttható, hogy akármilyen kicsiny szögsebességnél se csússzanak lefelé az emberek?

c) Mekkora lehet a súrlódási együttható, hogy akármilyen nagy szögsebesség esetén se csússzanak felfelé az emberek?

(4 pont)

I. megoldás.

1. ábra

Térjünk át a megszokott, vízszintessel bezárt \(\displaystyle \alpha\) szögre, amely így \(\displaystyle \alpha=90^\circ-\vartheta=60^\circ\). A mozgást a hengerrel együtt forgó vonatkoztatási rendszerben vizsgáljuk: ebben a rendszerben az emberekre ható nehézségi erőn, nyomóerőn és súrlódási erőn kívül a forgásból származó \(\displaystyle F_\mathrm{cf}=m\omega^2R\) centrifugális erőt is figyelembe kell venni (1. ábra).

A lejtőre merőleges erők egyensúlya alapján:

\(\displaystyle N=mg\cos\alpha+m\omega^2R\sin\alpha, \)

és ebből a súrlódási erő nagysága a határesetekben:

\(\displaystyle S=\pm\mu N=\pm\mu m(g\cos\alpha+\omega^2R\sin\alpha). \)

A \(\displaystyle \pm\) jel arra utal, hogy a minimális és maximális szögsebességnél (ahol a test éppen nem csúszik le, illetve éppen nem csúszik meg felfelé) a súrlódási erő iránya ellentétes.

a) A minimális szögsebesség esetében a súrlódási erő a lecsúszást akadályozza meg, felfelé mutat, így a lejtővel párhuzamos erőegyensúly:

\(\displaystyle mg\sin\alpha=m\omega^2R\cos\alpha+\mu m(g\cos\alpha+\omega^2R\sin\alpha), \)

amiből

\(\displaystyle \omega_\mathrm{min}=\sqrt{\frac{g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)}{R(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)}}=1{,}42~\mathrm{s}^{-1}. \)

A felfelé megcsúszás megakadályozásához a súrlódási erő lefelé mutat, így a lejtőirányú erőegyensúly ekkor:

\(\displaystyle mg\sin\alpha+\mu m(g\cos\alpha+\omega^2R\sin\alpha)=m\omega^2R\cos\alpha, \)

amiből

\(\displaystyle \omega_\mathrm{max}=\sqrt{\frac{g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)}{R(\cos\alpha-\mu\sin\alpha)}}=2{,}62~\mathrm{s}^{-1}. \)

b) Az álló hengerben nem hat a centrifugális erő, a súrlódási erőnek a nehézségi erő lejtővel párhuzamos komponensével kell egyensúlyt tartania:

\(\displaystyle \mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha, \)

amiből

\(\displaystyle \mu_{\mathrm{min},\;\omega=0}=\tg\alpha=\sqrt{3}=1{,}73. \)

c) A nagyon nagy szögsebességek esetében a súrlódási erő lefelé hat, az a) rész második esetéből indulhatunk ki. Most az erőegyenletből a súrlódási együtthatót fejezzük ki, és felhasználjuk, hogy a nehézségi erő elhanyagolható a centrifugális erő mellett:

\(\displaystyle \mu_{\mathrm{min},\;\omega\to\infty}=\frac{\omega^2R\cos\alpha-g\sin\alpha}{\omega^2R\sin\alpha+g\cos\alpha}\approx\frac{\omega^2R\cos\alpha}{\omega^2R\sin\alpha}=\ctg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}=0{,}58. \)

Sógor-Jász Soma (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 9. évf.)

II. megoldás. A lejtőre merőleges és a lejtővel párhuzamos komponensekre bontásnál egyszerűbben és szemléletesebben jutunk eredményre a súrlódási határszög használatával. Egy test akkor nem csúszik meg, ha a nyomóerő és a tapadó súrlódási erő eredője egyensúlyt tud tartani a testre ható többi erő eredőjével. Mivel \(\displaystyle S\leq\mu N\), a két erő eredője legfeljebb

\(\displaystyle \varepsilon=\arctg\frac{S_\mathrm{max}}{N}=\arctg\mu \)

szöget zárhat be a felület normálisával (a felületre merőleges iránnyal).

Esetünkben a testre a nyomóerőn és a súrlódási erőn kívül csak a nehézségi erő és a forgó rendszerben fellépő centrifugális erő hat. Mindkét erő arányos a test tömegével, így a két erő eredőjének irányát a függőlegesen lefelé mutató \(\displaystyle g\) és a vízszintesen, sugárirányban kifelé mutató \(\displaystyle a_\mathrm{cf}=\omega^2R\) gyorsulásvektorok \(\displaystyle a\) eredőjének iránya határozza meg.

A feladatunk esetében ez azt jelenti, hogy a két gyorsulásvektor eredője a vízszintessel \(\displaystyle \vartheta-\varepsilon\leq\gamma\leq\vartheta+\varepsilon\) szöget zárhat be (2. ábra).

2. ábra

Az ábráról az is látszik, hogy \(\displaystyle \ctg\gamma=\omega^2\tfrac{R}{g}\). Ezután az egyes kérdésekre a válaszok:

a) A súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}25\), ebből \(\displaystyle \varepsilon=\arctg\mu\approx 14^\circ\), \(\displaystyle \vartheta-\varepsilon\approx 16^\circ\), \(\displaystyle \vartheta+\varepsilon\approx 44^\circ\). A szögsebesség-tartományt keressük:

\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{R}\ctg\gamma}, \)

ahol \(\displaystyle \vartheta-\varepsilon\leq\gamma\leq\vartheta+\varepsilon\). A minimális szögsebességhez a maximális \(\displaystyle \gamma\) szög tartozik (és fordítva), így:

b) \(\displaystyle \omega=0\) esetében az eredő gyorsulás függőleges (csak a nehézségi erő hat), így teljesülnie kell a \(\displaystyle \vartheta+\varepsilon\geq 90^\circ\) egyenlőtlenségnek. Ebből \(\displaystyle \varepsilon\geq 60^\circ\) és így a szükséges súrlódási együttható: \(\displaystyle \mu\geq\tg 60^\circ\approx 1{,}73\).

c) Nagyon nagy szögsebesség esetében az eredő gyorsulás közel vízszintes, így az \(\displaystyle \varepsilon\geq\vartheta\) egyenlőtlenségnek kell teljesülnie, amiből \(\displaystyle \varepsilon\geq 30^\circ\) és így \(\displaystyle \mu\geq\tg 30^\circ\approx 0{,}58\) súrlódási együttható szükséges.

26 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 2, hiányos (1–2 pont) 6, hibás 2 dolgozat.