Szerk
G. 891. Egy dominó alakú hasábot készítünk valamilyen gyengén vezető anyagból. A méretek: \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{cm}\times 3~\mathrm{cm}\times 6~\mathrm{cm}\). Megmérjük a dominó elektromos ellenállását úgy, hogy az egymással szemben lévő oldalai között folyjon az áram. A csatlakozásokat úgy alakítjuk ki, hogy a dominókban az áramsűrűség homogén legyen. A feszültségeket úgy választjuk meg, hogy az áramsűrűség nagysága mindhárom esetben megegyezzen.
a) Hogy aránylik egymáshoz a három mért ellenállás?
b) Hogy aránylik egymáshoz az alkalmazott három feszültség?
c) Hogy aránylik egymáshoz a három esetben a másodpercenként felszabaduló Joule-hő?
(4 pont)
Megoldás. A dominó méretei: \(\displaystyle a=0{,}5~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle b=3~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle c=6~\mathrm{cm}\).
a) Az ellenállás a dominó méreteinek és fajlagos ellenállásának függvényében:
\(\displaystyle R=\varrho\frac{\ell}{A}, \)
ahol \(\displaystyle \varrho\) a fajlagos ellenállás, \(\displaystyle \ell\) az áram irányával párhuzamos méret és \(\displaystyle A\) az erre merőleges keresztmetszet. A három különböző esetben az ellenállás – rendre a legkisebb, a közepes és a legnagyobb területű lapok közt mérve:
Az ellenállások aránya:
\(\displaystyle R_1:R_2:R_3=4:1:\tfrac{1}{36}=144:36:1. \)
b) Az áramsűrűség az áramerősség és a keresztmetszet hányadosa:
\(\displaystyle j=\frac{I}{A}, \)
amely a feladat szövege szerint mindhárom esetben ugyanakkora. A dominókra kapcsolt feszültség az Ohm-törvény alapján:
\(\displaystyle U=RI=RjA=\varrho\frac{\ell}{A}\cdot jA=\varrho j\ell. \)
A három különböző esetben a dominóra kapcsolt feszültség – ismét rendre a legkisebb, a közepes és a legnagyobb területű lapok közt mérve:
A feszültségek aránya:
\(\displaystyle U_1:U_2:U_3=6:3:\tfrac{1}{2}=12:6:1. \)
c) A felszabaduló Joule-hő:
\(\displaystyle P=\frac{U^2}{R}=\frac{(\varrho j\ell)^2}{\varrho\frac{\ell}{A}}=\varrho j^2\ell A=\varrho j^2V, \)
ahol \(\displaystyle V=\ell A\) a dominó térfogata. Tehát a teljesítmény független attól, hogy melyik lappár között mérünk:
\(\displaystyle P_1:P_2:P_3=1:1:1. \)
Megjegyzés. Az a) és b) részek eredményeiből is ugyanerre jutunk, hiszen
és így a teljesítmények aránya ugyanúgy:
\(\displaystyle P_1:P_2:P_3=9:9:9=1:1:1. \)
Szighardt Anna (Révkomárom, Selye János Gimn., 9. évf.)
23 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 2, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
