Szerk
P. 5632. Egy nagy méretű fémlemez egyik oldalán egy \(\displaystyle Q\) és egy \(\displaystyle -Q\) töltésű, pontszerűnek tekinthető golyócska van, egymástól \(\displaystyle d\), a lemeztől \(\displaystyle d/2\) távolságra. Mekkora munkával tudjuk a töltéseket
a) a lemez síkjával párhuzamosan mozgatva egymástól nagyon messzire eltávolítani,
b) a lemezre merőlegesen mozgatva a lemeztől nagyon messzire (azonos távolságra) elmozdítani,
c) a lemeztől és egymástól is nagyon messzire vinni?
(5 pont)
Közli: Cserti József, (Budapest)
Megoldás.
1. ábra
A fémlemezen az odahelyezett töltések hatására kialakuló bonyolult töltéselosztást helyettesíthetjük a fémlemez túloldalán szimmetrikusan elhelyezett ellentétes előjelű töltésekkel, úgynevezett tükörtöltésekkel. Az eredeti elrendezés az 1. ábrán látható, de ehhez hasonlóan elkészíthetjük a három elmozdított elrendezés megfelelőjét is.
Az így átalakított töltéselrendezés teljes elektrosztatikus energiáját kiszámíthatjuk az egyes töltések között páronként meghatározott Coulomb-energiák összegeként – a kezdeti állapotban és a három végállapotban is. Azonban az így kiszámított energiák az erővonalkép szimmetriája miatt (2. ábra) a valóságos energiáknak pontosan a kétszeresét adják, hiszen a valóságban csak a fémlemez egyik oldalán van térerősség (ahol a valódi töltések vannak), a lemez túloldalán nincsen. (Ott a térerősség nulla, és így elektrosztatikus energia sincsen.)
2. ábra
Az eredeti elrendezés energiája (négy \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű szomszéd és két \(\displaystyle \sqrt{2}d\) távolságra lévő, azonos előjelű átlós pár, az \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\)-es szorzót is figyelembe véve):
\(\displaystyle {\cal E}_0=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-4}{d}+\frac{2}{\sqrt{2}d}\right)=\frac{kQ^2}{d}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-2\right). \)
Az a) és b) esetben az energia (két \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű pár):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{a}}={\cal E}_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-2}{d}\right)=\frac{-kQ^2}{d}, \)
a c) esetben pedig (minden töltés nagyon messze van egymástól):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{c}}=0. \)
A töltések eltávolítása közben végzett munka mindhárom esetben az elektrosztatikus energia megváltozását (növelését) fedezi:
Vértesi Janka (Debreceni Ady E. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
6 dolgozat érkezett. Helyes megoldás nem volt. Kicsit hiányos (4 pont) 4, hiányos (2–3 pont) 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
