Szerk
P. 5632. Egy nagy méretű fémlemez egyik oldalán egy \(\displaystyle Q\) és egy \(\displaystyle -Q\) töltésű, pontszerűnek tekinthető golyócska van, egymástól \(\displaystyle d\), a lemeztől \(\displaystyle d/2\) távolságra. Mekkora munkával tudjuk a töltéseket
a) a lemez síkjával párhuzamosan mozgatva egymástól nagyon messzire eltávolítani,
b) a lemezre merőlegesen mozgatva a lemeztől nagyon messzire (azonos távolságra) elmozdítani,
c) a lemeztől és egymástól is nagyon messzire vinni?
(5 pont)
Közli: Cserti József, (Budapest)
Megoldás.
1. ábra
A fémlemezen az odahelyezett töltések hatására kialakuló bonyolult töltéselosztást helyettesíthetjük a fémlemez túloldalán szimmetrikusan elhelyezett ellentétes előjelű töltésekkel, úgynevezett tükörtöltésekkel. Az eredeti elrendezés az 1. ábrán látható, de ehhez hasonlóan elkészíthetjük a három elmozdított elrendezés megfelelőjét is.
Az így átalakított töltéselrendezés teljes elektrosztatikus energiáját kiszámíthatjuk az egyes töltések között páronként meghatározott Coulomb-energiák összegeként – a kezdeti állapotban és a három végállapotban is. Azonban az így kiszámított energiák az erővonalkép szimmetriája miatt (2. ábra) a valóságos energiáknak pontosan a kétszeresét adják, hiszen a valóságban csak a fémlemez egyik oldalán van térerősség (ahol a valódi töltések vannak), a lemez túloldalán nincsen. (Ott a térerősség nulla, és így elektrosztatikus energia sincsen.)
2. ábra
Az eredeti elrendezés energiája (négy \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű szomszéd és két \(\displaystyle \sqrt{2}d\) távolságra lévő, azonos előjelű átlós pár, az \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\)-es szorzót is figyelembe véve):
\(\displaystyle {\cal E}_0=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-4}{d}+\frac{2}{\sqrt{2}d}\right)=\frac{kQ^2}{d}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-2\right). \)
Az a) és b) esetben az energia (két \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű pár):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{a}}={\cal E}_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-2}{d}\right)=\frac{-kQ^2}{d}, \)
a c) esetben pedig (minden töltés nagyon messze van egymástól):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{c}}=0. \)
A töltések eltávolítása közben végzett munka mindhárom esetben az elektrosztatikus energia megváltozását (növelését) fedezi:
Vértesi Janka (Debreceni Ady E. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
6 dolgozat érkezett. Helyes megoldás nem volt. Kicsit hiányos (4 pont) 4, hiányos (2–3 pont) 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
