A P. 5632. fizika feladat megoldása
Szerk
P. 5632. Egy nagy méretű fémlemez egyik oldalán egy \(\displaystyle Q\) és egy \(\displaystyle -Q\) töltésű, pontszerűnek tekinthető golyócska van, egymástól \(\displaystyle d\), a lemeztől \(\displaystyle d/2\) távolságra. Mekkora munkával tudjuk a töltéseket
a) a lemez síkjával párhuzamosan mozgatva egymástól nagyon messzire eltávolítani,
b) a lemezre merőlegesen mozgatva a lemeztől nagyon messzire (azonos távolságra) elmozdítani,
c) a lemeztől és egymástól is nagyon messzire vinni?
(5 pont)
Közli: Cserti József, (Budapest)
Megoldás.
1. ábra
A fémlemezen az odahelyezett töltések hatására kialakuló bonyolult töltéselosztást helyettesíthetjük a fémlemez túloldalán szimmetrikusan elhelyezett ellentétes előjelű töltésekkel, úgynevezett tükörtöltésekkel. Az eredeti elrendezés az 1. ábrán látható, de ehhez hasonlóan elkészíthetjük a három elmozdított elrendezés megfelelőjét is.
Az így átalakított töltéselrendezés teljes elektrosztatikus energiáját kiszámíthatjuk az egyes töltések között páronként meghatározott Coulomb-energiák összegeként – a kezdeti állapotban és a három végállapotban is. Azonban az így kiszámított energiák az erővonalkép szimmetriája miatt (2. ábra) a valóságos energiáknak pontosan a kétszeresét adják, hiszen a valóságban csak a fémlemez egyik oldalán van térerősség (ahol a valódi töltések vannak), a lemez túloldalán nincsen. (Ott a térerősség nulla, és így elektrosztatikus energia sincsen.)
2. ábra
Az eredeti elrendezés energiája (négy \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű szomszéd és két \(\displaystyle \sqrt{2}d\) távolságra lévő, azonos előjelű átlós pár, az \(\displaystyle \tfrac{1}{2}\)-es szorzót is figyelembe véve):
\(\displaystyle {\cal E}_0=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-4}{d}+\frac{2}{\sqrt{2}d}\right)=\frac{kQ^2}{d}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-2\right). \)
Az a) és b) esetben az energia (két \(\displaystyle d\) távolságra lévő, ellentétes előjelű pár):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{a}}={\cal E}_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\cdot kQ^2\left(\frac{-2}{d}\right)=\frac{-kQ^2}{d}, \)
a c) esetben pedig (minden töltés nagyon messze van egymástól):
\(\displaystyle {\cal E}_{\mathrm{c}}=0. \)
A töltések eltávolítása közben végzett munka mindhárom esetben az elektrosztatikus energia megváltozását (növelését) fedezi:
$$\begin{gather*} W_{\mathrm{a}}=W_{\mathrm{b}}={\cal E}_{\mathrm{a}}-{\cal E}_0={\cal E}_{\mathrm{b}}-{\cal E}_0=\frac{kQ^2}{d}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\\ W_{\mathrm{c}}={\cal E}_{\mathrm{c}}-{\cal E}_0=-{\cal E}_0=\frac{kQ^2}{d}\left(2-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). \end{gather*}$$Vértesi Janka (Debreceni Ady E. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján
6 dolgozat érkezett. Helyes megoldás nem volt. Kicsit hiányos (4 pont) 4, hiányos (2–3 pont) 2 dolgozat.