Szerk
P. 5635. A nyújtón az óriáskör bemutatásánál a tornász éppen átbillen a felső függőleges helyzetén. Amikor alulra ér, az acélrúd láthatóan meghajlik. Modellezzük a tornászt egy vékony, súlyos, homogén rúddal, ami vízszintes tengely körül forog. Ha a rúd a felső állásából az alsóba ér, akkor a súlyának hányszorosával húzza a tengelyt? (A súrlódást, közegellenállást, a tengely behajlását a rúd hosszához képest hanyagoljuk el.)
(4 pont)
Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár
Megoldás. Modellezzük a tornászt egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, \(\displaystyle m\) tömegű vékony rúddal. Ha a tornász a felső függőleges helyzeten éppen átbillen, akkor ott a szögsebessége 0, az alsó helyzetben pedig legyen \(\displaystyle \omega\). A tömegközéppontja éppen \(\displaystyle \ell\)-lel került lejjebb az óriáskör során. A mechanikai energia megmaradása alapján:
\(\displaystyle mg\ell=\frac{1}{2}\Theta\omega^2, \)
ahol
\(\displaystyle \Theta=\frac{1}{3}m\ell^2 \)
a vékony rúd tehetetlenségi nyomatéka a végpontján átmenő, a rúdra merőleges tengelyre vonatkoztatva. Ebből
\(\displaystyle \omega^2=\frac{6g}{\ell}. \)
Alsó állásban a tömegközéppontját a ráható erők – a tengely által kifejtett \(\displaystyle K\) erő és az \(\displaystyle mg\) nehézségi erő – eredője gyorsítja (tartja körpályán):
\(\displaystyle K-mg=ma_{\mathrm{cp}}=m\omega^2\frac{\ell}{2}. \)
Ebből a tengely által kifejtett kényszererő:
\(\displaystyle K=3mg+mg=4mg. \)
Newton harmadik törvénye értelmében a tornász is \(\displaystyle K\) erővel, tehát súlyának négyszeresével húzza lefelé a tengelyt, az emiatt hajlik meg láthatóan.
Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 10. évf.)
41 dolgozat érkezett. Helyes 19 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 18, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az
a) a háromszög síkjára merőleges,
b) a magasságvonal,
c) az előző két tengelyre merőleges.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
G. 912. Az ábrán látható áramkörben kezdetben a kapcsoló nyitva van.
a) Mekkora áramok folynak az áramkör ellenállásain és a telepeken a kapcsoló zárása előtt és után?
b) Mekkora áramok folynak, ha a kapcsoló melletti feszültségforrás polaritását megfordítjuk?
