Szerk
P. 5636. Egy űrszonda a Föld \(\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}\)-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest \(\displaystyle nv\) sebességgel (\(\displaystyle n<1\)) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.
a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?
b) Mekkora lehet \(\displaystyle n\), hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?
(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket a honlapon.)
(5 pont)
Almár Iván feladata nyomán
Megoldás. A szonda kezdetben a \(\displaystyle v\) sebességgel mozgó Földhöz képest azzal ellentétes irányban \(\displaystyle nv\) sebességgel távolodik, így sebessége ekkor \(\displaystyle v_0=(1-n)v\) nagyságú és a Naphoz húzott sugárra merőleges irányú (tehát ekkor van a szonda a Naptól legtávolabb).
A szonda teljes mechanikai energiája (a feladatban hivatkozott cikk alapján):
\(\displaystyle E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, \)
ahol \(\displaystyle \gamma\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M_{\odot}\) a Nap tömege, \(\displaystyle m\) a szonda tömege és \(\displaystyle a\) a pályájának félnagytengelye. \(\displaystyle \gamma\) és \(\displaystyle M_{\odot}\) értékét táblázatokból kikereshetnénk, de egyszerűbb, ha a (közel) körpályán mozgó Föld mozgásegyenletét használjuk fel:
\(\displaystyle \frac{M_{\oplus} v^2}{r_{\oplus}}=\frac{\gamma M_{\oplus} M_{\odot}}{r_{\oplus}^2}, \)
ahol \(\displaystyle M_{\oplus}\) a Föld tömege és \(\displaystyle r_{\oplus}\approx 1{,}5\cdot 10^{11}~\mathrm{m}\) a Föld pályasugara. Ebből rendezéssel:
a) A szonda mechanikai energiáját a naptávoli pontra felírva:
\(\displaystyle \frac{mv_0^2}{2}-\frac{\gamma mM_{\odot}}{r_{\oplus}}=E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, \)
amiből
Az ábráról leolvasható, hogy \(\displaystyle r_{\oplus}=a+c=a+ea=a(1+e)\), amiből a pálya keresett excentricitása:
b) A szonda maradványai akkor érik el a Nap felszínét, ha \(\displaystyle a-c\leq R_{\odot}\), ahol \(\displaystyle R_{\odot}\approx 7\cdot 10^8~\mathrm{m}\) a Nap sugara. Ez alapján (2) és (3) felhasználásával:
amiből (a feladatban szereplő \(\displaystyle n<1\) feltételt is figyelembe véve) a napfelszín elérésének feltétele:
\(\displaystyle 0{,}904\leq n<1. \)
Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory István Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 11. évf.)
15 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5674. Egy hőerőgép egy \(\displaystyle C\) hőkapacitású, kezdetben \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test és egy állandó \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű, nagy méretű hőtartály között üzemel.
Vizsgáljuk a következő két esetet: \(\displaystyle T=T_0+\Delta T\) és \(\displaystyle T=T_0-\Delta T\). Melyik esetben nyerhetünk több munkát?
Példatári feladat nyomán
I. megoldás. A maximális, reverzibilis folyamatban működő gép (Carnot-gép) által végzett munka a hatásfok folyamatos változása miatt mindkét esetben integrálással fejezhető ki.
