A P. 5636. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5636. Egy űrszonda a Föld $\displaystyle v\approx 30~\mathrm{km}/\mathrm{s}$-os keringési sebességével ellentétes irányban, a Földhöz képest $\displaystyle nv$ sebességgel ($\displaystyle n<1$) eltávolodott a Földtől. További mozgását – jó közelítéssel – csak a Nap gravitációs tere határozza meg.

a) Mekkora az űrszonda pályájának nagytengelye és a numerikus excentricitása?

b) Mekkora lehet $\displaystyle n$, hogy a szonda maradványai eljussanak a Nap felszínéig?

(Lásd még a Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikket a honlapon.)

(5 pont)

Almár Iván feladata nyomán

Megoldás. A szonda kezdetben a $\displaystyle v$ sebességgel mozgó Földhöz képest azzal ellentétes irányban $\displaystyle nv$ sebességgel távolodik, így sebessége ekkor $\displaystyle v_0=(1-n)v$ nagyságú és a Naphoz húzott sugárra merőleges irányú (tehát ekkor van a szonda a Naptól legtávolabb).

A szonda teljes mechanikai energiája (a feladatban hivatkozott cikk alapján):

$\displaystyle E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, $

ahol $\displaystyle \gamma$ a gravitációs állandó, $\displaystyle M_{\odot}$ a Nap tömege, $\displaystyle m$ a szonda tömege és $\displaystyle a$ a pályájának félnagytengelye. $\displaystyle \gamma$ és $\displaystyle M_{\odot}$ értékét táblázatokból kikereshetnénk, de egyszerűbb, ha a (közel) körpályán mozgó Föld mozgásegyenletét használjuk fel:

$\displaystyle \frac{M_{\oplus} v^2}{r_{\oplus}}=\frac{\gamma M_{\oplus} M_{\odot}}{r_{\oplus}^2}, $

ahol $\displaystyle M_{\oplus}$ a Föld tömege és $\displaystyle r_{\oplus}\approx 1{,}5\cdot 10^{11}~\mathrm{m}$ a Föld pályasugara. Ebből rendezéssel:

$\displaystyle (1) $

$\displaystyle \frac{\gamma M_{\odot}}{v^2}=r_{\oplus}.$

a) A szonda mechanikai energiáját a naptávoli pontra felírva:

$\displaystyle \frac{mv_0^2}{2}-\frac{\gamma mM_{\odot}}{r_{\oplus}}=E=-\frac{\gamma mM_{\odot}}{2a}, $

amiből

$\displaystyle (2) $

$\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{2}{r_{\oplus}}-\frac{(1-n)^2v^2}{\gamma M_{\odot}}=\frac{2}{r_{\oplus}}-\frac{(1-n)^2}{r_{\oplus}}=\frac{1+2n-n^2}{r_{\oplus}}.$

Az ábráról leolvasható, hogy $\displaystyle r_{\oplus}=a+c=a+ea=a(1+e)$, amiből a pálya keresett excentricitása:

$\displaystyle (3) $

$\displaystyle e=\frac{r_{\oplus}}{a}-1=2n-n^2=n(2-n).$

b) A szonda maradványai akkor érik el a Nap felszínét, ha $\displaystyle a-c\leq R_{\odot}$, ahol $\displaystyle R_{\odot}\approx 7\cdot 10^8~\mathrm{m}$ a Nap sugara. Ez alapján (2) és (3) felhasználásával:

$$\begin{gather*} R_{\odot}\geq a-c=a-ea=a(1-e)=\frac{1-2n+n^2}{1+2n-n^2}\,r_{\oplus}=\frac{(1-n)^2}{2-(1-n)^2}\,r_{\oplus},\\ 1-n\leq\sqrt{\frac{2R_{\odot}}{r_{\oplus}+R_{\odot}}}\approx 0{,}096, \end{gather*}$$

amiből (a feladatban szereplő $\displaystyle n<1$ feltételt is figyelembe véve) a napfelszín elérésének feltétele:

$\displaystyle 0{,}904\leq n<1. $

Kovács Tamás (Szeged, SZTE Báthory István Gyak. Gimn. és Ált. Isk., 11. évf.)

15 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?