A P. 5652. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5652. Egy $\displaystyle H$ magasságú toronyból $\displaystyle \alpha$ szög alatt felfelé eldobunk egy követ. A becsapódás előtt a kő sebességvektora $\displaystyle \beta$ szöget zár be a vízszintessel. A toronytól milyen messze csapódott be a kő? A közegellenállást hanyagoljuk el.

(4 pont)

KVANT feladat

Megoldás. Jelölje a kő sebességének (állandó) vízszintes komponensét $\displaystyle v_x$. A becsapódás és a torony keresett távolsága $\displaystyle d$, a repülési idő $\displaystyle t$. A nulla szintet válasszuk a torony aljánál, függőleges irányban vegyük a lefele irányt pozitívnak, valamint használjuk az eldobás pillanatához a $\displaystyle 0$ és a becsapódás pillanatánál az $\displaystyle 1$ indexet.

Az eldobás utáni pillanatban a függőleges sebesség $\displaystyle v_{y0}=-v_x\tg\alpha$, a becsapódáskor $\displaystyle v_{y1}=v_x\tg\beta$, a függőleges gyorsulás $\displaystyle g$, ebből a repülési idő:

$\displaystyle (1) $

$\displaystyle t=\frac{v_x(\tg\beta+\tg\alpha)}{g}.$

Írjuk fel az energiamegmaradást:

$$\begin{gather*} \frac{1}{2}mv_0^2+mgH=\frac{1}{2}mv_1^2,\\ v_x^2(1+\tg^2\alpha)+2gH=v_x^2(1+\tg^2\beta),\\ 2gH=v_x^2(\tg^2\beta-\tg^2\alpha),\\ 2H=v_x\frac{v_x(\tg\beta+\tg\alpha)}{g}(\tg\beta-\tg\alpha). \end{gather*}$$

(1) behelyettesítésével és $\displaystyle d=v_xt$ felhasználásával ebből a keresett távolság:

$\displaystyle d=\frac{2H}{\tg\beta-\tg\alpha}. $

Gyenes Károly (Kecskeméti Bányai Júlia Gimn., 11. évf.)

Megjegyzések. 1. A megoldásunk alapján:

$\displaystyle v_x=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}, $

és ebből a mozgáshoz szükséges kezdősebesség:

$\displaystyle v_0=\frac{v_x}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}. $

2. Ha $\displaystyle H>0$ (azaz valóban egy toronyból és nem egy gödörből dobtuk el a követ), akkor csak $\displaystyle \beta>\alpha$ esetben kapunk pozitív távolságot. Ez érthető, hiszen amikor a kő már lefelé haladva eléri a $\displaystyle H$ magasságot, akkor vízszintessel bezárt szöge éppen $\displaystyle \alpha$, és ezután egyre meredekebb szögben esik, tehát valóban $\displaystyle \beta>\alpha$.

$\displaystyle \beta=\alpha$ estében $\displaystyle d\to\infty$, ehhez azonban $\displaystyle v_0\to\infty$ kezdősebesség kellene. Ez is érthető: nagyon nagy távolság esetében $\displaystyle H$ elhanyagolható a pálya magasságához képest, a mozgás olyan, mintha a talajról dobnánk el a követ, amikor is valóban $\displaystyle \beta=\alpha$.

33 dolgozat érkezett. Helyes 17 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 5, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?