Szerk
P. 5652. Egy \(\displaystyle H\) magasságú toronyból \(\displaystyle \alpha\) szög alatt felfelé eldobunk egy követ. A becsapódás előtt a kő sebességvektora \(\displaystyle \beta\) szöget zár be a vízszintessel. A toronytól milyen messze csapódott be a kő? A közegellenállást hanyagoljuk el.
(4 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Jelölje a kő sebességének (állandó) vízszintes komponensét \(\displaystyle v_x\). A becsapódás és a torony keresett távolsága \(\displaystyle d\), a repülési idő \(\displaystyle t\). A nulla szintet válasszuk a torony aljánál, függőleges irányban vegyük a lefele irányt pozitívnak, valamint használjuk az eldobás pillanatához a \(\displaystyle 0\) és a becsapódás pillanatánál az \(\displaystyle 1\) indexet.
Az eldobás utáni pillanatban a függőleges sebesség \(\displaystyle v_{y0}=-v_x\tg\alpha\), a becsapódáskor \(\displaystyle v_{y1}=v_x\tg\beta\), a függőleges gyorsulás \(\displaystyle g\), ebből a repülési idő:
Írjuk fel az energiamegmaradást:
(1) behelyettesítésével és \(\displaystyle d=v_xt\) felhasználásával ebből a keresett távolság:
\(\displaystyle d=\frac{2H}{\tg\beta-\tg\alpha}. \)
Gyenes Károly (Kecskeméti Bányai Júlia Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. A megoldásunk alapján:
\(\displaystyle v_x=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}, \)
és ebből a mozgáshoz szükséges kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=\frac{v_x}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}. \)
2. Ha \(\displaystyle H>0\) (azaz valóban egy toronyból és nem egy gödörből dobtuk el a követ), akkor csak \(\displaystyle \beta>\alpha\) esetben kapunk pozitív távolságot. Ez érthető, hiszen amikor a kő már lefelé haladva eléri a \(\displaystyle H\) magasságot, akkor vízszintessel bezárt szöge éppen \(\displaystyle \alpha\), és ezután egyre meredekebb szögben esik, tehát valóban \(\displaystyle \beta>\alpha\).
\(\displaystyle \beta=\alpha\) estében \(\displaystyle d\to\infty\), ehhez azonban \(\displaystyle v_0\to\infty\) kezdősebesség kellene. Ez is érthető: nagyon nagy távolság esetében \(\displaystyle H\) elhanyagolható a pálya magasságához képest, a mozgás olyan, mintha a talajról dobnánk el a követ, amikor is valóban \(\displaystyle \beta=\alpha\).
33 dolgozat érkezett. Helyes 17 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 5, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
