Szerk
P. 5652. Egy \(\displaystyle H\) magasságú toronyból \(\displaystyle \alpha\) szög alatt felfelé eldobunk egy követ. A becsapódás előtt a kő sebességvektora \(\displaystyle \beta\) szöget zár be a vízszintessel. A toronytól milyen messze csapódott be a kő? A közegellenállást hanyagoljuk el.
(4 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Jelölje a kő sebességének (állandó) vízszintes komponensét \(\displaystyle v_x\). A becsapódás és a torony keresett távolsága \(\displaystyle d\), a repülési idő \(\displaystyle t\). A nulla szintet válasszuk a torony aljánál, függőleges irányban vegyük a lefele irányt pozitívnak, valamint használjuk az eldobás pillanatához a \(\displaystyle 0\) és a becsapódás pillanatánál az \(\displaystyle 1\) indexet.
Az eldobás utáni pillanatban a függőleges sebesség \(\displaystyle v_{y0}=-v_x\tg\alpha\), a becsapódáskor \(\displaystyle v_{y1}=v_x\tg\beta\), a függőleges gyorsulás \(\displaystyle g\), ebből a repülési idő:
Írjuk fel az energiamegmaradást:
(1) behelyettesítésével és \(\displaystyle d=v_xt\) felhasználásával ebből a keresett távolság:
\(\displaystyle d=\frac{2H}{\tg\beta-\tg\alpha}. \)
Gyenes Károly (Kecskeméti Bányai Júlia Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. A megoldásunk alapján:
\(\displaystyle v_x=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}, \)
és ebből a mozgáshoz szükséges kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=\frac{v_x}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}. \)
2. Ha \(\displaystyle H>0\) (azaz valóban egy toronyból és nem egy gödörből dobtuk el a követ), akkor csak \(\displaystyle \beta>\alpha\) esetben kapunk pozitív távolságot. Ez érthető, hiszen amikor a kő már lefelé haladva eléri a \(\displaystyle H\) magasságot, akkor vízszintessel bezárt szöge éppen \(\displaystyle \alpha\), és ezután egyre meredekebb szögben esik, tehát valóban \(\displaystyle \beta>\alpha\).
\(\displaystyle \beta=\alpha\) estében \(\displaystyle d\to\infty\), ehhez azonban \(\displaystyle v_0\to\infty\) kezdősebesség kellene. Ez is érthető: nagyon nagy távolság esetében \(\displaystyle H\) elhanyagolható a pálya magasságához képest, a mozgás olyan, mintha a talajról dobnánk el a követ, amikor is valóban \(\displaystyle \beta=\alpha\).
33 dolgozat érkezett. Helyes 17 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 5, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
