Szerk
P. 5652. Egy \(\displaystyle H\) magasságú toronyból \(\displaystyle \alpha\) szög alatt felfelé eldobunk egy követ. A becsapódás előtt a kő sebességvektora \(\displaystyle \beta\) szöget zár be a vízszintessel. A toronytól milyen messze csapódott be a kő? A közegellenállást hanyagoljuk el.
(4 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Jelölje a kő sebességének (állandó) vízszintes komponensét \(\displaystyle v_x\). A becsapódás és a torony keresett távolsága \(\displaystyle d\), a repülési idő \(\displaystyle t\). A nulla szintet válasszuk a torony aljánál, függőleges irányban vegyük a lefele irányt pozitívnak, valamint használjuk az eldobás pillanatához a \(\displaystyle 0\) és a becsapódás pillanatánál az \(\displaystyle 1\) indexet.
Az eldobás utáni pillanatban a függőleges sebesség \(\displaystyle v_{y0}=-v_x\tg\alpha\), a becsapódáskor \(\displaystyle v_{y1}=v_x\tg\beta\), a függőleges gyorsulás \(\displaystyle g\), ebből a repülési idő:
Írjuk fel az energiamegmaradást:
(1) behelyettesítésével és \(\displaystyle d=v_xt\) felhasználásával ebből a keresett távolság:
\(\displaystyle d=\frac{2H}{\tg\beta-\tg\alpha}. \)
Gyenes Károly (Kecskeméti Bányai Júlia Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. A megoldásunk alapján:
\(\displaystyle v_x=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}, \)
és ebből a mozgáshoz szükséges kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=\frac{v_x}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta-\tg^2\alpha}}=\sqrt{\frac{2gH}{\tg^2\beta\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}}. \)
2. Ha \(\displaystyle H>0\) (azaz valóban egy toronyból és nem egy gödörből dobtuk el a követ), akkor csak \(\displaystyle \beta>\alpha\) esetben kapunk pozitív távolságot. Ez érthető, hiszen amikor a kő már lefelé haladva eléri a \(\displaystyle H\) magasságot, akkor vízszintessel bezárt szöge éppen \(\displaystyle \alpha\), és ezután egyre meredekebb szögben esik, tehát valóban \(\displaystyle \beta>\alpha\).
\(\displaystyle \beta=\alpha\) estében \(\displaystyle d\to\infty\), ehhez azonban \(\displaystyle v_0\to\infty\) kezdősebesség kellene. Ez is érthető: nagyon nagy távolság esetében \(\displaystyle H\) elhanyagolható a pálya magasságához képest, a mozgás olyan, mintha a talajról dobnánk el a követ, amikor is valóban \(\displaystyle \beta=\alpha\).
33 dolgozat érkezett. Helyes 17 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 5, hiányos (1–2 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
