Szerk
P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.
a) Milyen messze volt a két jármű a kereszteződéstől kezdetben?
b) Mekkora lesz a két jármű közötti legkisebb távolság?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
(5 pont)
1897. évi érettségi feladat nyomán
Megoldás. a) Jelölje az autó távolságát a kereszteződéstől kezdetben \(\displaystyle x\), a motorosét \(\displaystyle y\). A személyautó sebessége \(\displaystyle v_{\mathrm{x}}=25~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), a motorosé \(\displaystyle v_{\mathrm{y}}=20~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\). Kezdetben a távolságuk \(\displaystyle d_0=347~\mathrm{m}\), \(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) idővel később \(\displaystyle d_1=188~\mathrm{m}\). Ezekkel a jelölésekkel kezdetben fennáll:
\(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2, \)
\(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) eltelte után pedig:
\(\displaystyle (x-v_{\mathrm{x}}t_1)^2+(y-v_{\mathrm{y}}t_1)^2=d_1^2. \)
Az egyszerűség kedvéért helyettesítsük be a két egyenletbe az ismert értékeket (mindent SI mértékegységben). Ez alapján:
Vonjuk ki az (1) egyenletből a (2) egyenletet. Így rendezés után:
\(\displaystyle 25x+20y=11069. \)
Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve, és beírva (1)-be, majd rendezve az alábbi másodfokú egyenlet adódik:
\(\displaystyle 1025x^2-553450x+74359161=0. \)
Ennek megoldásai \(\displaystyle x\)-re, valamint az egyes \(\displaystyle x\) értékekhez tartozó \(\displaystyle y\) értékek:
Láthatjuk, hogy mindkét megoldáspár fizikailag értelmes. Tehát az autó és a motoros kezdetben 288 m és 193 m, vagy 252 m és 239 m távolságra voltak a kereszteződéstől.
b) A \(\displaystyle t\) idő függvényében a két jármű közötti \(\displaystyle d\) távolság a következő összefüggés szerint változik:
\(\displaystyle d=\sqrt{(x-25t)^2+(y-20t)^2}. \)
Ennek ott van minimuma, ahol a gyök alatt lévő kifejezésnek, tehát a következő függvény szélsőértékét keressük:
\(\displaystyle f(t)=(x-25t)^2+(y-20t)^2=1025t^2-(50x+40y)t+120409. \)
(A rendezésnél felhasználtam, hogy \(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2=347^2\).) Beírva az a) részben megkapott \(\displaystyle x_1=288{,}5~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle y_1=192{,}8~\mathrm{m}\) értékpárt:
\(\displaystyle f(t)=1025t^2-22137t+120409. \)
Ez egy másodfokú függvény, minimumhelyét megkereshetjük deriválással:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=2025t-22137=0, \)
amiből
\(\displaystyle t_{\mathrm{min}}\approx 10{,}8~\mathrm{s}. \)
Ezt visszahelyettesítve \(\displaystyle d\) kifejezésébe:
\(\displaystyle d_{\mathrm{min}}=\sqrt{(x_1-25t_{\mathrm{min}})^2+(y_1-20t_{\mathrm{min}})^2}\approx 30~\mathrm{m}. \)
Tehát a két jármű közötti legkisebb távolság 30 m. (Az a) részben kapott másik \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral ugyanezt az eredményt kapjuk.)
Klement Tamás (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 12. évf.)
Megjegyzések. 1. A másodfokú kifejezés minimumhelye teljes négyzetté alakítással is megkapható.
2. Az a) részben kapott két megoldás szimmetrikus abban az értelemben, hogy ha a járművek az \(\displaystyle x_1\)-\(\displaystyle y_1\) értékekkel megadott pontból indulnak, akkor \(\displaystyle 2t_{\mathrm{min}}\) idő múlva a kereszteződés túloldalán az \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral megadott pontokba érkeznek – és viszont. Ez érthető, hiszen a mozgások időben megfordíthatók. Egyik esetben a motoros, a másikban az autó halad át előbb a kereszteződésen.
35 dolgozat érkezett. Helyes 22 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (2–3 pont) 4 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
