Szerk
P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.
a) Milyen messze volt a két jármű a kereszteződéstől kezdetben?
b) Mekkora lesz a két jármű közötti legkisebb távolság?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
(5 pont)
1897. évi érettségi feladat nyomán
Megoldás. a) Jelölje az autó távolságát a kereszteződéstől kezdetben \(\displaystyle x\), a motorosét \(\displaystyle y\). A személyautó sebessége \(\displaystyle v_{\mathrm{x}}=25~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), a motorosé \(\displaystyle v_{\mathrm{y}}=20~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\). Kezdetben a távolságuk \(\displaystyle d_0=347~\mathrm{m}\), \(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) idővel később \(\displaystyle d_1=188~\mathrm{m}\). Ezekkel a jelölésekkel kezdetben fennáll:
\(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2, \)
\(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) eltelte után pedig:
\(\displaystyle (x-v_{\mathrm{x}}t_1)^2+(y-v_{\mathrm{y}}t_1)^2=d_1^2. \)
Az egyszerűség kedvéért helyettesítsük be a két egyenletbe az ismert értékeket (mindent SI mértékegységben). Ez alapján:
Vonjuk ki az (1) egyenletből a (2) egyenletet. Így rendezés után:
\(\displaystyle 25x+20y=11069. \)
Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve, és beírva (1)-be, majd rendezve az alábbi másodfokú egyenlet adódik:
\(\displaystyle 1025x^2-553450x+74359161=0. \)
Ennek megoldásai \(\displaystyle x\)-re, valamint az egyes \(\displaystyle x\) értékekhez tartozó \(\displaystyle y\) értékek:
Láthatjuk, hogy mindkét megoldáspár fizikailag értelmes. Tehát az autó és a motoros kezdetben 288 m és 193 m, vagy 252 m és 239 m távolságra voltak a kereszteződéstől.
b) A \(\displaystyle t\) idő függvényében a két jármű közötti \(\displaystyle d\) távolság a következő összefüggés szerint változik:
\(\displaystyle d=\sqrt{(x-25t)^2+(y-20t)^2}. \)
Ennek ott van minimuma, ahol a gyök alatt lévő kifejezésnek, tehát a következő függvény szélsőértékét keressük:
\(\displaystyle f(t)=(x-25t)^2+(y-20t)^2=1025t^2-(50x+40y)t+120409. \)
(A rendezésnél felhasználtam, hogy \(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2=347^2\).) Beírva az a) részben megkapott \(\displaystyle x_1=288{,}5~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle y_1=192{,}8~\mathrm{m}\) értékpárt:
\(\displaystyle f(t)=1025t^2-22137t+120409. \)
Ez egy másodfokú függvény, minimumhelyét megkereshetjük deriválással:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=2025t-22137=0, \)
amiből
\(\displaystyle t_{\mathrm{min}}\approx 10{,}8~\mathrm{s}. \)
Ezt visszahelyettesítve \(\displaystyle d\) kifejezésébe:
\(\displaystyle d_{\mathrm{min}}=\sqrt{(x_1-25t_{\mathrm{min}})^2+(y_1-20t_{\mathrm{min}})^2}\approx 30~\mathrm{m}. \)
Tehát a két jármű közötti legkisebb távolság 30 m. (Az a) részben kapott másik \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral ugyanezt az eredményt kapjuk.)
Klement Tamás (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 12. évf.)
Megjegyzések. 1. A másodfokú kifejezés minimumhelye teljes négyzetté alakítással is megkapható.
2. Az a) részben kapott két megoldás szimmetrikus abban az értelemben, hogy ha a járművek az \(\displaystyle x_1\)-\(\displaystyle y_1\) értékekkel megadott pontból indulnak, akkor \(\displaystyle 2t_{\mathrm{min}}\) idő múlva a kereszteződés túloldalán az \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral megadott pontokba érkeznek – és viszont. Ez érthető, hiszen a mozgások időben megfordíthatók. Egyik esetben a motoros, a másikban az autó halad át előbb a kereszteződésen.
35 dolgozat érkezett. Helyes 22 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (2–3 pont) 4 dolgozat.
P. 5679. Vízszintes talajon súrlódásmentesen mozoghat egy \(\displaystyle M\) tömegű, lapos felületű, kezdetben álló kiskocsi, amelynek egyik végén egy \(\displaystyle m=M/2\) tömegű, kicsiny hasáb helyezkedik el. A kiskocsi \(\displaystyle \ell=24~\mathrm{cm}\) hosszú, a rajta lévő hasáb és a kiskocsi között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}2\).
a) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle v_0\) sebességgel lökhetjük meg a kicsiny hasábot, hogy ne essen le a kiskocsiról?
b) Mekkora lesz a kiskocsi és a hasáb sebessége abban a pillanatban, amikor a hasáb lerepül a kiskocsiról, ha \(\displaystyle v_1=2v_0\) sebességgel lökjük meg a hasábot?
Közli: Wiedemann László, Budapest
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 907. Az egyenletes tömegeloszlású, \(\displaystyle m=0{,}7~\mathrm{kg}\) tömegű, \(\displaystyle ABC\) szabályos háromszög alakú lemez \(\displaystyle A\) csúcsa az ábra szerint csuklóval csatlakozik a függőleges falhoz. A háromszög vízszintes \(\displaystyle AB\) oldalának \(\displaystyle B\) végpontját egy fonál köti össze a fallal. A fonál a vízszintessel \(\displaystyle \varphi=60^\circ\)-os szöget zár be.
a) Mekkora erő ébred a fonálban?
b) Mekkora nagyságú, és milyen irányú erővel terheli a háromszöglemez a csuklót?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
P. 5680. Amikor a \(\displaystyle 30^\circ\)-os hajlásszögű, vízszintes síkban folytatódó domboldalt mindenütt hó borította, Peti szokatlan módját választotta a szánkózásnak: az emelkedő aljától számított \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\) távolságból különböző kezdősebességgel indult el.
a) Mekkora kezdősebesség esetében áll meg leghamarabb a szánkó?
b) Milyen hosszú utat tett meg felfelé az emelkedőn ebben az esetben a szánkó?
A szánkó pályája egybeesett a domboldal esésvonalával. A lejtő töréspontmentesen csatlakozik a vízszintes felülethez. A szánkó és a hó között a súrlódás elhanyagolható.
Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely
