Szerk
P. 5653. Két egyenes út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik úton egy személyautó \(\displaystyle 90~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel, a másikon egy motoros \(\displaystyle 72~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel közeledik a kereszteződéshez. Egy adott (\(\displaystyle t=0\)) pillanatban két jármű távolsága (légvonalban) \(\displaystyle 347~\mathrm{m}\). \(\displaystyle 5\) másodperc elteltével a távolságuk \(\displaystyle 188~\mathrm{m}\)-re csökken.
a) Milyen messze volt a két jármű a kereszteződéstől kezdetben?
b) Mekkora lesz a két jármű közötti legkisebb távolság?
Az egyszerűség kedvéért mindkét járművet tekintsük pontszerűnek.
(5 pont)
1897. évi érettségi feladat nyomán
Megoldás. a) Jelölje az autó távolságát a kereszteződéstől kezdetben \(\displaystyle x\), a motorosét \(\displaystyle y\). A személyautó sebessége \(\displaystyle v_{\mathrm{x}}=25~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), a motorosé \(\displaystyle v_{\mathrm{y}}=20~\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\). Kezdetben a távolságuk \(\displaystyle d_0=347~\mathrm{m}\), \(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) idővel később \(\displaystyle d_1=188~\mathrm{m}\). Ezekkel a jelölésekkel kezdetben fennáll:
\(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2, \)
\(\displaystyle t_1=5~\mathrm{s}\) eltelte után pedig:
\(\displaystyle (x-v_{\mathrm{x}}t_1)^2+(y-v_{\mathrm{y}}t_1)^2=d_1^2. \)
Az egyszerűség kedvéért helyettesítsük be a két egyenletbe az ismert értékeket (mindent SI mértékegységben). Ez alapján:
Vonjuk ki az (1) egyenletből a (2) egyenletet. Így rendezés után:
\(\displaystyle 25x+20y=11069. \)
Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve, és beírva (1)-be, majd rendezve az alábbi másodfokú egyenlet adódik:
\(\displaystyle 1025x^2-553450x+74359161=0. \)
Ennek megoldásai \(\displaystyle x\)-re, valamint az egyes \(\displaystyle x\) értékekhez tartozó \(\displaystyle y\) értékek:
Láthatjuk, hogy mindkét megoldáspár fizikailag értelmes. Tehát az autó és a motoros kezdetben 288 m és 193 m, vagy 252 m és 239 m távolságra voltak a kereszteződéstől.
b) A \(\displaystyle t\) idő függvényében a két jármű közötti \(\displaystyle d\) távolság a következő összefüggés szerint változik:
\(\displaystyle d=\sqrt{(x-25t)^2+(y-20t)^2}. \)
Ennek ott van minimuma, ahol a gyök alatt lévő kifejezésnek, tehát a következő függvény szélsőértékét keressük:
\(\displaystyle f(t)=(x-25t)^2+(y-20t)^2=1025t^2-(50x+40y)t+120409. \)
(A rendezésnél felhasználtam, hogy \(\displaystyle x^2+y^2=d_0^2=347^2\).) Beírva az a) részben megkapott \(\displaystyle x_1=288{,}5~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle y_1=192{,}8~\mathrm{m}\) értékpárt:
\(\displaystyle f(t)=1025t^2-22137t+120409. \)
Ez egy másodfokú függvény, minimumhelyét megkereshetjük deriválással:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=2025t-22137=0, \)
amiből
\(\displaystyle t_{\mathrm{min}}\approx 10{,}8~\mathrm{s}. \)
Ezt visszahelyettesítve \(\displaystyle d\) kifejezésébe:
\(\displaystyle d_{\mathrm{min}}=\sqrt{(x_1-25t_{\mathrm{min}})^2+(y_1-20t_{\mathrm{min}})^2}\approx 30~\mathrm{m}. \)
Tehát a két jármű közötti legkisebb távolság 30 m. (Az a) részben kapott másik \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral ugyanezt az eredményt kapjuk.)
Klement Tamás (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 12. évf.)
Megjegyzések. 1. A másodfokú kifejezés minimumhelye teljes négyzetté alakítással is megkapható.
2. Az a) részben kapott két megoldás szimmetrikus abban az értelemben, hogy ha a járművek az \(\displaystyle x_1\)-\(\displaystyle y_1\) értékekkel megadott pontból indulnak, akkor \(\displaystyle 2t_{\mathrm{min}}\) idő múlva a kereszteződés túloldalán az \(\displaystyle x_2\)-\(\displaystyle y_2\) értékpárral megadott pontokba érkeznek – és viszont. Ez érthető, hiszen a mozgások időben megfordíthatók. Egyik esetben a motoros, a másikban az autó halad át előbb a kereszteződésen.
35 dolgozat érkezett. Helyes 22 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 9, hiányos (2–3 pont) 4 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5706. Homogén tömegeloszlású vékony vasrúdból \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) hosszúságú darabokat vágunk le, és azokból háromszög alakú merev keretet hozunk létre. A vaskeret teljes súlya \(\displaystyle G\). A keretet vízszintes helyzetben a csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a vaskeret az alátámasztási pontokat?
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
