A P. 5659. fizika feladat megoldása
Szerk
P. 5659. Maghasadásos reakciókban gyakran keletkezik \(\displaystyle ^{92}\mathrm{Sr}\) izotóp, amely két egymást követő \(\displaystyle \beta\)-bomlással a stabil \(\displaystyle ^{92}\mathrm{Zr}\)-ra bomlik:
\(\displaystyle {}^{92}\mathrm{Sr}~\xrightarrow{2{,}66~\mathrm{h}}~{}^{92}\mathrm{Y}~\xrightarrow{3{,}54~\mathrm{h}}~{}^{92}\mathrm{Zr}. \)
Egy adag vegytiszta \(\displaystyle ^{92}\mathrm{Sr}\) preparátum elkészítése után mennyi idővel lesz a keletkező \(\displaystyle ^{92}\mathrm{Y}\) mennyisége a legnagyobb?
Útmutatás: Próbálhatjuk az egyenleteket egyetlen radioaktív bomlási egyenletre visszavezetni. Ötletet adhat a következő kétrészes cikk: Vigh Máté: Összetett rezgések I–II. (https://www.komal.hu/cikkek/cikklista.h.shtml)
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
I. megoldás. Jelöljük a három izotópot X (\(\displaystyle ^{92}\mathrm{Sr}\)), Y (\(\displaystyle ^{92}\mathrm{Y}\)) és Z (\(\displaystyle ^{92}\mathrm{Zr}\)) betűkkel, a magjaik (időben változó) számát pedig jelölje \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\).
\(\displaystyle \textrm{X}\,\xrightarrow{T_1=2{,}66\,\textrm{h}}\,\textrm{Y}\,\xrightarrow{T_2=3{,}54\,\textrm{h}}\,\textrm{Z}. \)
X mennyisége a bomlási törvény alapján:
\(\displaystyle x=x_0\mathrm{e}^{-\lambda_1t}, \)
ahol \(\displaystyle \lambda_1=\tfrac{\ln 2}{T_1}\). Az Y mag egyrészt X bomlásával keletkezik, másrészt maga is elbomlik. Ez alapján:
| \(\displaystyle (1) \) | \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-\lambda_2y=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1t}-\lambda_2y,\) |
ahol \(\displaystyle \lambda_2=\tfrac{\ln 2}{T_2}\). Feltételezzük, hogy \(\displaystyle y\) felírható
\(\displaystyle y=c_1\mathrm{e}^{-\lambda_2t}+c_2\mathrm{e}^{-\lambda_3t} \)
alakban. Ezt behelyettesítve az (1) egyenletbe:
$$\begin{gather*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-c_1\lambda_2\mathrm{e}^{-\lambda_2t}-c_2\lambda_3\mathrm{e}^{-\lambda_3t}=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1t}-c_1\lambda_2\mathrm{e}^{-\lambda_2t}-c_2\lambda_2\mathrm{e}^{-\lambda_3t},\\ -c_2\lambda_3\mathrm{e}^{-\lambda_3t}=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1t}-c_2\lambda_2\mathrm{e}^{-\lambda_3t},\\ (\lambda_2-\lambda_3)c_2\mathrm{e}^{-\lambda_3t}=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1t},\\ \lambda_3=\lambda_1\quad\textrm{és}\quad c_2=x_0\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}. \end{gather*}$$Ez alapján
\(\displaystyle y=c_1\mathrm{e}^{-\lambda_2t}+x_0\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\mathrm{e}^{-\lambda_1t}, \)
ahol \(\displaystyle c_1\) értékét az \(\displaystyle y(0)=0\) kezdeti feltétel alapján határozhatjuk meg:
\(\displaystyle c_1=-x_0\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}. \)
A maximum időpontját deriválással határozhatjuk meg:
$$\begin{gather*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=x_0\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\mathrm{e}^{-\lambda_2t}-x_0\frac{\lambda_1^2}{\lambda_2-\lambda_1}\mathrm{e}^{-\lambda_1t}=0,\\ t_\mathrm{max}=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}\ln\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)=\frac{1}{\ln 2}\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 4{,}41\,\textrm{óra}. \end{gather*}$$Beke Márton Csaba (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használva \(\displaystyle \tau\) idő elteltével:
\(\displaystyle x(\tau)=x_0\mathrm{e}^{-\lambda_1\tau}. \)
Határozzuk meg, hogy \(\displaystyle t\) idő elteltével mennyi az Y magok száma, azaz \(\displaystyle y(t)\). A kezdettől \(\displaystyle \tau\) idő elteltével a kicsi \(\displaystyle \mathrm{d}\tau\) időintervallum alatt \(\displaystyle x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1\tau}\mathrm{d}\tau\) X mag bomlik el, és ugyanennyi Y mag keletkezik. Ezeknek a kis idő alatt létrejött Y magoknak \(\displaystyle \mathrm{e}^{-\lambda_2(t-\tau)}\) része marad meg a kezdettől \(\displaystyle t\) idő utánra, azaz a kezdet után \(\displaystyle \tau\) idővel \(\displaystyle \mathrm{d}\tau\) időintervallum alatt létrejövő Y magok közül
\(\displaystyle \mathrm{d}y(t)=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1\tau}\mathrm{e}^{-\lambda_2(t-\tau)}\mathrm{d}\tau=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_2t}\mathrm{e}^{(\lambda_2-\lambda_1)\tau}\mathrm{d}\tau \)
fog létezni a kezdet után \(\displaystyle t\) idővel. \(\displaystyle y(t)\) értékét \(\displaystyle \tau\) szerinti integrálással kaphatjuk meg:
$$\begin{align*} y(t)&=\int\limits_0^tx_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_2t}\mathrm{e}^{(\lambda_2-\lambda_1)\tau}\mathrm{d}\tau=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_2t}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\left[\mathrm{e}^{(\lambda_2-\lambda_1)\tau}\right]_0^t=\\ &=x_0\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_2t}\frac{1}{\lambda_2-\lambda_1}\left(\mathrm{e}^{(\lambda_2-\lambda_1)t}-1\right)=x_0\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\left(\mathrm{e}^{-\lambda_1t}-\mathrm{e}^{-\lambda_2t}\right). \end{align*}$$Keressük ennek maximumhelyét: mivel \(\displaystyle x_0\tfrac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\) nem függ az időtől, ezért elég az utolsó tényezőt \(\displaystyle t\) szerint deriválni, és megkeresni, hogy hol nulla:
$$\begin{gather*} -\lambda_1\mathrm{e}^{-\lambda_1t}+\lambda_2\mathrm{e}^{-\lambda_2t}=0,\\ t_\mathrm{max}=\frac{1}{\lambda_1-\lambda_2}\ln\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)\approx 4{,}41\,\textrm{óra}. \end{gather*}$$Gyenes Károly (Kecskeméti Bányai Júlia Gimn., 11. évf.)
Megjegyzések. 1. \(\displaystyle y\) maximális értéke \(\displaystyle t_\mathrm{max}\) \(\displaystyle y(t)\)-be való behelyettesítésével megkapható:
\(\displaystyle y_\mathrm{max}=y(t_\mathrm{max})=\frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2}\left(\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}-\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}\right)x_0\approx 0{,}422 x_0. \)
2. Érdekes megnézni a \(\displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda\) esetet. Ilyenkor az \(\displaystyle y(t)\) függvényben egy \(\displaystyle \tfrac{0}{0}\) tényező jelenne meg. A megoldás ebben az esetben \(\displaystyle y(t)=\lambda tx_0\mathrm{e}^{-\lambda t}\) és \(\displaystyle t_\mathrm{max}=\tfrac{1}{\lambda}\).
III. megoldás. A feladat numerikusan is megoldható. (Ehhez lásd Csóka Péter, Seprődi Barnabás: Fizika problémák megoldása numerikus módszerekkel című cikkét lapunk 2024. novemberi számában.) Használjuk a korábbi jelöléseket, ekkor a megoldandó differenciálegyenlet-rendszer:
$$\begin{gather*} \frac{\Delta x}{\Delta t}=-\lambda_1x,\\ \frac{\Delta y}{\Delta t}=\lambda_1x-\lambda_2y. \end{gather*}$$A programunk változói \(\displaystyle t\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\), paraméterei \(\displaystyle \lambda_1=\tfrac{\ln 2}{T_1}\), \(\displaystyle \lambda_2=\tfrac{\ln 2}{T_2}\) és \(\displaystyle \Delta t\) (a közelítő számítás ,,felbontása''). Legyen \(\displaystyle x_0=1\) (így \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) relatív értékek lesznek a kiinduló mennyiséghez képest.)
A paramétereink kezdőértéke legyen:
$$\begin{gather*} t:=0,\\ x:=1,\\ y:=0. \end{gather*}$$Ezután ismételjük a következő ciklust:
$$\begin{gather*} t:=t+\Delta t,\\ y:=y+(\lambda_1x-\lambda_2y)\Delta t,\\ x:=x-\lambda_1x\Delta t, \end{gather*}$$mindaddig, amíg \(\displaystyle \lambda_1x-\lambda_2y>0\). Amikor ez az érték előjelet vált, állítsuk le a ciklust, és írjuk ki \(\displaystyle t\) értékét.
A ciklust tovább futtatva, és az adatokat ábrázolva elkészíthetjük az \(\displaystyle x(t)\) és \(\displaystyle y(t)\) grafikonokat is. Az ábrán látható grafikonon a Z (\(\displaystyle ^{92}\mathrm{Zr}\)) magok \(\displaystyle z(t)\) relatív értékét is ábrázoltuk, amely a \(\displaystyle z=x_0-(x+y)\) képlettel minden időpontban könnyen meghatározható.
Megjegyzés. A futtatáshoz bármilyen program használható, de elvégezhető akár Excel táblázatkezelővel is: ekkor a képleteket az első sorba beírva autokitöltővel lehet a sorokat létrehozni, majd grafikonvarázslóval a grafikont elkészíteni. Az ábrán látható grafikon is így készült \(\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\textrm{óra}\) lépéssel.
16 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 4 dolgozat.