Szerk
M. 445. Mérjük meg, hogy egy adott granuláris anyagnak (pl. rizs, gersli stb.) mekkora a térkitöltése! Mennyire függ ez a rendszer preparálásától (pl.: tömörítés, rázogatás stb.)?
(6 pont)
Közli: Széchenyi Gábor, Budapest
I. megoldás. A mérés során bab és lencse térkitöltését vizsgáltuk. A granuláris anyagot mérőhengerbe öntjük, lemérjük a halmaz térfogatát (\(\displaystyle V_{\mathrm{h}}\)), majd folyadékot öntünk rá bizonyos adagonként (pl. 50 ml). Amikor a folyadék teljesen ellepi a szemeket, újra lemérjük a teljes térfogatot (\(\displaystyle V_{\mathrm{t}}\)). A mért értékből kivonva a ráöntött folyadék \(\displaystyle V_{\mathrm{f}}\) térfogatát megkapjuk a szemek térfogatát. Végül ezt leosztva az elején mért térfogattal megkapjuk a térkitöltést:
\(\displaystyle \phi=\frac{V_{\mathrm{t}}-V_{\mathrm{f}}}{V_{\mathrm{h}}}. \)
A mérés előtt a bab esetében megvizsgáltuk, mennyire szívja magába a különböző folyadékokat (víz, metanol, 1,2%-os sóoldat). Az 1. táblázat eredményei alapján a legkevésbé a metanol szívódott fel, így a méréseket azzal végeztük. A tömegeket elektromos konyhai mérleggel mértük fél gramm hibával, a térfogatokat pedig mérőhengerrel állapítottuk meg 1 ml eltérésen belül.
1. táblázat
A babbal végzett mérések eredménye a 2. táblázatban látható.
2. táblázat
A térkitöltés a rázás előtt átlagosan 53%, a rázás után átlagosan 55%. A legnagyobb eltérés az átlagtól mindkét esetben 3%, ami kb. 6% relatív eltérés. A rázás hatására a térkitöltés csak a hibával összemérhetően kis mértékben növekedett.
Megpróbáltuk a babot darabolni, de ez a szemek keménysége miatt nem sikerült. Ezután madáreledellel próbálkoztunk, de ennek egyik összetevője, a napraforgómag úszott a folyadékon. Végül a mérést a babon kívül lencsével tudtuk elvégezni: darabolni azt se sikerült, így ismét a rázás hatását vizsgáltuk. Az eredmények a 3. táblázatban láthatók.
3. táblázat
A térkitöltés a rázás előtt átlagosan 54,5%, a rázás után átlagosan 57%. A legnagyobb eltérés az átlagtól 3-3,5%. A rázás hatására a térkitöltés a babhoz hasonlóan csak kis mértékben növekedett.
A Mi folyik itt Gyöngyösön? csapat: Fuchs Vince, Lakatos Levente(Szekszárdi Garay János Gimn., 10. évf.)
II. megoldás. Megmérjük egy granuláris anyag (jelen esetben: száraz rizs) térkitöltését többféle preparálás mellett. A térkitöltés definíció szerint a szemcsék által ténylegesen elfoglalt térfogat és a halmaz teljes (látszólagos) térfogatának aránya. Azt vizsgáljuk, mennyire függ az eredmény a preparálástól (laza betöltés, rázogatás, rezgetés, préselés).
A térkitöltés a szemcsék térfogatának (\(\displaystyle V_{\mathrm{sz}}\)) és a halmaz térfogatának (\(\displaystyle V_{\mathrm{h}}\)) hányadosa:
\(\displaystyle \phi=\frac{V_{\mathrm{sz}}}{V_{\mathrm{h}}}. \)
Ha a szemcsék anyagának sűrűsége \(\displaystyle \varrho\) és a halmaz tömege \(\displaystyle m\), akkor a térkitöltés így is írható:
a halmaz átlagsűrűsége pedig:
\(\displaystyle \varrho_{\mathrm{h}}=\frac{m}{\varrho V_{\mathrm{h}}}=\phi\varrho. \)
A méréshez használt eszközök és anyagok: 0,01 g felbontású digitális mérleg, 250 ml-es mérőhenger 1 ml-es osztással, száraz rizs.
1. Az anyagsűrűség mérése
A mérőhengerbe \(\displaystyle V_1\) térfogatú vizet töltünk, beleszórunk \(\displaystyle m_1\approx 40~\mathrm{g}\) tömegű rizst, és leolvassuk a kialakuló \(\displaystyle V_2\) végső térfogatot. A keresett sűrűség:
\(\displaystyle \varrho=\frac{m_1}{V_2-V_1}. \)
A mért és számított adatokat a 4. táblázat tartalmazza.
4. táblázat
A sűrűségek átlaga \(\displaystyle \overline{\varrho}=1{,}479~\mathrm{g}/\mathrm{ml}\). A fő hibaforrás a térfogatmérés hibája (a tömegmérés sokkal pontosabb): \(\displaystyle \Delta V=\sqrt{2}\cdot 0{,}5~\mathrm{ml}\approx 0{,}7~\mathrm{ml}\), amiből a térfogatmérés relatív hibája \(\displaystyle \tfrac{\Delta V}{V_2-V_1}\approx 2{,}5\%\). A rizs anyagsűrűsége tehát:
\(\displaystyle \varrho=(1{,}48\pm 0{,}04)~\mathrm{g}/\mathrm{ml}=(1480\pm 40)~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. \)
2. Térkitöltés mérése különböző preparálás mellett
Rögzített, \(\displaystyle m=150~\mathrm{g}\) rizsmennyiséget használunk minden mérésben, és a következő módokon állítjuk be a halmazt a mérőhengerben:
– laza betöltés: lassú beöntés, ütögetés nélkül;
– rázogatás: 50 darab függőleges kocogtatás;
– rezgetés: 30 s enyhe rezgetés (asztallapon, kézzel);
– préselés: kb. állandó terhelés 30 s-ig.
Mindegyik esetet ötször ismételjük és minden ismétlésnél leolvassuk a halmaz \(\displaystyle V_{\mathrm{h}}\) térfogatát. Ezek átlagából és a korábban meghatározott anyagsűrűségből az (1) összefüggés alapján számítjuk a térkitöltést. A térkitöltés hibáját elsősorban \(\displaystyle \varrho\) hibája okozza (ami egy nagyságrenddel nagyobb, mint \(\displaystyle V_{\mathrm{h}}\) hibája). A mért és számított értékek az 5. táblázatban láthatók.
5. táblázat
Látható, hogy a preparálás hatására a térkitöltés szignifikánsan növekszik, a különbség egyértelműen nagyobb a hibánál:
\(\displaystyle \phi_{\textrm{préselt}}-\phi_{\textrm{laza}}=0{,}637-0{,}547=0{,}090>\sqrt{(\Delta\phi_{\textrm{préselt}})^2+(\Delta\phi_{\textrm{laza}})^2}\approx 0{,}024. \)
A rázogatás gyorsan növeli a térkitöltést, a további lépések ezt már csak kisebb mértékben fokozzák. A kezdeti és végállapot között \(\displaystyle 0{,}090\pm 0{,}024\) a térkitöltés növekedése, amely kb. 16%-os relatív változás.
Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)
15 dolgozat érkezett. Helyes 10 megoldás. Kicsit hiányos (5 pont) 2, hiányos (1–2 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5700. A legenda szerint Dido, Türosz hercegnője, miután menekülni kényszerült hazájából, Észak-Afrikába érkezett, ahol a helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit egy ökörbőrrel körbe tud keríteni. Az uralkodó beleegyezett, mire Dido hosszú, keskeny csíkra vágta a bőrt, amiből kerítést készített, majd a lehető legnagyobb földterületet választotta le a tengerpart mentén, megalapítva Karthágó városát.
A történet egy kevésbé ismert változata szerint Dido hajózásai során egy 1 km sugarú, kör alakú szigeten kötött ki, valahol a Földközi-tengeren. Legfeljebb mekkora földterületet tudott leválasztani, ha a kerítésének hossza 1 km volt?
Dido a kettéosztott sziget kisebb területrészét tekinthette sajátjának.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
G. 911. Egy vékony szórólencse az ábrán látható \(\displaystyle P\) pontról a \(\displaystyle P'\) pontban állít elő látszólagos képet. A lencse optikai tengelyét a folytonos vonal jelöli, a négyzethálón egy-egy beosztás vízszintesen \(\displaystyle 10~\mathrm{cm}\)-nek, függőlegesen \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\)-nek felel meg. Mekkora a lencse fókusztávolsága?
