A P. 5700. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5700. A legenda szerint Dido, Türosz hercegnője, miután menekülni kényszerült hazájából, Észak-Afrikába érkezett, ahol a helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit egy ökörbőrrel körbe tud keríteni. Az uralkodó beleegyezett, mire Dido hosszú, keskeny csíkra vágta a bőrt, amiből kerítést készített, majd a lehető legnagyobb földterületet választotta le a tengerpart mentén, megalapítva Karthágó városát.

A történet egy kevésbé ismert változata szerint Dido hajózásai során egy 1 km sugarú, kör alakú szigeten kötött ki, valahol a Földközi-tengeren. Legfeljebb mekkora földterületet tudott leválasztani, ha a kerítésének hossza 1 km volt?

Dido a kettéosztott sziget kisebb területrészét tekinthette sajátjának.

(5 pont)

Közli: Vigh Máté, Herceghalom

I. megoldás. Azt szeretnénk elérni, hogy a határvonalon kívüli terület minimális legyen. Ehhez analógiaként vizsgálhatunk egy fonallal két részre választott szappanhártyát: ha az egyik részen a hártyát kilyukasztjuk, akkor a másik a felületi feszültség hatására minimális területű lesz.

Két esetet vizsgálunk: az első esetben a határvonal nem érintkezik a sziget peremével (1. ábra).

1. ábra

Ilyenkor a körbekerített terület egy kör lesz, melynek kerülete \(\displaystyle k=1~\mathrm{km}\) (a kerítés hosszúsága). A területe ebből:

\(\displaystyle T_1=r^2\pi=\left(\frac{k}{2\pi}\right)^2\pi=\frac{k^2}{4\pi}\approx 0{,}0796~\mathrm{km}^2. \)

A második esetben a határ két vége a sziget pereméhez ér, ahol szabadon elmozdulhat (2. ábra).

2. ábra

A határvonal ilyenkor egy körív lesz, amely merőlegesen csatlakozik a sziget pereméhez. Az állítás első része abból következik, hogy a fonalra a felületi feszültségből származó hosszegységenként ható erő a fonal mentén állandó, és mindenhol a fonalra merőlegesen hat, így egyensúlyban a fonalban ható erő és a fonal görbületi sugara is állandó. A második része pedig abból, hogy ha a fonal a határoló kört nem merőlegesen érné el, akkor elmozdulna.

3. ábra

Ezután már meg tudjuk határozni az így leválasztott terület nagyságát. Mivel a fonal merőlegesen érintkezik a peremmel, a körív \(\displaystyle r\) sugara is merőleges a sziget \(\displaystyle R\) sugarára. A 3. ábra alapján a körívhez tartozó fél középponti szög:

\(\displaystyle \varphi=\frac{k}{2r}, \)

másrészt a derékszögű háromszögben:

\(\displaystyle \tg\varphi=\frac{R}{r}. \)

Az egyenletrendszert \(\displaystyle \varphi\)-re rendezve:

\(\displaystyle \varphi=\frac{k}{2R}\,\tg\varphi, \)

amelyből a \(\displaystyle k=R=1~\mathrm{km}\) adatok behelyettesítésével a

\(\displaystyle \tg\varphi=2\varphi \)

transzcendens egyenletet kapjuk, amely grafikusan vagy numerikusan oldható meg.

Megjegyzés. Utóbbihoz lásd a lapunk 2025. novemberi számában megjelent cikket: Woynarovich Ferenc: Egy egyszerű egyenletmegoldó eljárás. Esetünkben a megoldandó egyenlet

\(\displaystyle \varphi=\arctg 2\varphi \)

alakjából érdemes kiindulni, ekkor a

\(\displaystyle \varphi_{n+1}=\arctg 2\varphi_n \)

rekurziós szabály alkalmazásával (a számológépen a 2-vel való szorzás és az arctg függvény egymás utáni ismételt elvégzésével – természetesen radián állásban) bármely pozitív értékről indulva gyorsan eljutunk a (kívánt pontosságú) közelítő megoldáshoz.

Az egyenlet megoldása:

\(\displaystyle \varphi\approx 1{,}166\approx 66{,}78^\circ, \)

amiből a kerítés ívének sugara:

\(\displaystyle r=\frac{k}{2\varphi}\approx 0{,}429~\mathrm{km}. \)

A Dido által így megszerezhető terület két körszelet területének összege. A körszeletek sugara és középponti szöge \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle 2\varphi\), illetve \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle \pi-2\varphi\), amiből \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle R\) értékének behelyettesítésével a terület:

\(\displaystyle T_2=r^2\left(\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right)+R^2\left(\frac{\pi}{2}-\varphi-\frac{\sin(\pi-2\varphi)}{2}\right)\approx 0{,}191~\mathrm{km}^2. \)

Ez több mint kétszer akkora, mint az első esetben, így ez a feladat megoldása.

Bogdán Balázs Ákos (Óbudai Árpád Gimn., 12. évf.)

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a kerítés két vége \(\displaystyle d\) távolságra van egymástól (4. ábra). Rajzoljunk be egy ezeken áthaladó, \(\displaystyle k=1~\mathrm{km}\) hosszúságú tetszőleges görbét (zöld vonal), és egy ugyanilyen hosszúságú körívet (piros vonal). Egészítsük ki a körívet egy körré (piros szaggatott vonal).

4. ábra

Ha a zöld görbe által leválasztott terület nagyobb lenne, mint a körív által leválasztott, akkor a szaggatott vonallal és a zöld görbével határolt síkidom területe nagyobb lenne, mint a piros kör területe. Viszont a két síkidom kerülete ugyanakkora, így ez ellentmondana az izoperimetrikus egyenlőtlenségnek. Tehát az optimális kerítés körív alakú.

5. ábra

Legyen a \(\displaystyle k=1~\mathrm{km}\) hosszúságú piros körív sugara \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle d\) hosszú húrhoz tartozó középponti szög pedig \(\displaystyle \alpha\) (5. ábra). A koszinusztételből:

\(\displaystyle d^2=r^2+r^2-2r^2\cos\alpha=2r^2(1-\cos\alpha)=\frac{2k^2(1-\cos\alpha)}{\alpha^2}, \)

ahol felhasználtuk, hogy \(\displaystyle r=\tfrac{k}{\alpha}\). Ehhez hasonlóan a másik, \(\displaystyle \beta\) középponti szögű körcikkben:

\(\displaystyle d^2=R^2+R^2-2R^2\cos\beta=2R^2(1-\cos\beta). \)

A két kifejezés egyenlőségéből:

\(\displaystyle \cos\beta=\frac{k^2}{R^2}\,\frac{\alpha^2-1+\cos\alpha}{\alpha^2}=\frac{\alpha^2-1+\cos\alpha}{\alpha^2}, \)

ahol az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy \(\displaystyle R=k\). A teljes leválasztott terület két körszelet területének összege:

\(\displaystyle T=\frac{k^2}{2\alpha^2}(\alpha-\sin\alpha)+\frac{R^2}{2}(\beta-\sin\beta), \)

amelybe behelyettesítve a

\(\displaystyle \beta=\arccos\frac{\alpha^2-1+\cos\alpha}{\alpha^2} \)

kifejezést, valamint az \(\displaystyle R=k=1~\mathrm{km}\) értékeket, a terület \(\displaystyle \alpha\) függvényében (\(\displaystyle \mathrm{km}^2\)-ben):

\(\displaystyle T=\frac{\alpha-\sin\alpha}{2\alpha^2}+\frac{\arccos\frac{\alpha^2-1+\cos\alpha}{\alpha^2}-\sin\left(\arccos\frac{\alpha^2-1+\cos\alpha}{\alpha^2}\right)}{2}. \)

Ennek a kifejezésnek numerikusan meghatározható a maximumhelye és maximumértéke (Például WolframAlpha segítségével): \(\displaystyle \alpha\approx 2{,}331\approx 133{,}6^\circ\) esetén a terület \(\displaystyle T\approx 0{,}191~\mathrm{km}^2\). Ekkora területet tud lehatárolni Dido.

Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)

Megjegyzések. 1. A II. megoldás nem használja fel, hogy a kerítés merőlegesen éri el a sziget peremét. Ez a maximum meghatározása után azonban ellenőrizhető:

\(\displaystyle \beta=\arccos\frac{\alpha^2-1+\cos\alpha}{\alpha^2}\approx 0{,}810\approx 46{,}4^\circ=180^\circ-\alpha, \)

tehát a négyszög húrnégyszög, és így a szimmetria miatt a sugarak által bezárt szögek derékszögek.

2. A feladat megoldható variációszámítás Variációszámítás segítségével is, amelyhez azonban általában a középiskolás tananyagot meghaladó matematikai apparátusra van szükség. Lapunk következő, 2026. májusi számában egy cikkben ismertetni fogjuk a módszer alapjait és alkalmazását a P. 5717. feladat megoldásához.

19 dolgozat érkezett. Helyes 4 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 1, hiányos (1–3 pont) 7, hibás 7 dolgozat.