Szerk
G. 881. Egy hosszú futószalag \(\displaystyle 2~\mathrm{m}\) széles és \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) nagyságú, állandó sebességgel mozog. Egy távirányításos játékautó úgy jut el a futószalag egyik szélétől a másikig, hogy a futószalaghoz képest nyugalmi helyzetből indul, a futószalaghoz képest mindig a szalagra merőleges irányban mozog, egyenletesen gyorsul a futószalag közepéig, ahol a szalaghoz képest \(\displaystyle 1~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) sebességet ér el, majd ugyanolyan módon egyenletesen lassul, és végül a szalaghoz képest nullára csökken a sebessége.
a) A futószalag mennyivel viszi előbbre a kisautót az átkelése közben?
b) Rajzoljuk meg vázlatosan a kisautó pályáját a talajhoz képest!
(4 pont)
Megoldás.
a) A futószalag állandó, \(\displaystyle v=0{,}5~\mathrm{m}/\mathrm{s}\) nagyságú sebességgel mozog \(\displaystyle x\) irányba. A kisautó a futószalaghoz képest arra merőlegesen mozog \(\displaystyle y\) irányba, sebességének időfüggése az 1. ábrán látható.
A kisautó által (a futószalaghoz képest) megtett út a sebesség–idő grafikonon a görbe alatti terület, amely megegyezik a szalag szélességével. Ebből a mozgás teljes ideje \(\displaystyle t=\tfrac{2d}{v_\mathrm{max}}=\tfrac{2\cdot 2~\mathrm{m}}{1~\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4~\mathrm{s}\). Ezalatt a szalag \(\displaystyle s=vt=2~\mathrm{m}\) utat tesz meg, ennyivel viszi előrébb a kisautót.
1. ábra
b) A kisautó a szalaghoz képest egyenletesen gyorsuló, majd egyenletesen lassuló mozgást végez. A szalaghoz viszonyított elmozdulása az idő függvényében a 2. ábrán látható: két egymásba fonódó parabolaív. Mivel a szalag egyenletesen mozog, a kisautó \(\displaystyle x\) irányú elmozdulása egyenesen arányos az idővel, így a pályát megadó grafikon is ugyanígy néz ki (3. ábra).
Csonka Áron (Budapest, Piarista Gimnázium, 10. évf.)
41 dolgozat érkezett. Helyes 24 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 6, hiányos (2 pont) 11 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
