A P. 5691. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5691. Határozzuk meg egy vékony, \(\displaystyle m\) tömegű, homogén tömegeloszlású, \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög alakú lemez tehetetlenségi nyomatékát az egyik csúcsán áthaladó tengelyre vonatkozóan, ha az

a) a háromszög síkjára merőleges,

b) a magasságvonal,

c) az előző két tengelyre merőleges.

(5 pont)

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

Megoldás. a) Határozzuk meg először a \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a,tkp}}\) tehetetlenségi nyomatékot a háromszög tömegközéppontján átmenő (és a háromszög síkjára merőleges) tengelyre. Ehhez osszuk fel a szabályos háromszöget 4 egybevágó kis háromszögre, ahogy azt az 1. ábra mutatja. A kis háromszögek tömegközéppontjai között, valamint a kis háromszögek tömegközéppontja és csúcsai között a távolság: \(\displaystyle d=\tfrac{\sqrt{3}}{6}a\).

1. ábra

Keressük a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a,tkp}}=k_1ma^2\) alakban! Ekkor egy kis háromszög (saját tömegközéppontján átmenő tengelyre vonatkoztatott) tehetetlenségi nyomatéka:

\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a,tkp,k}}=k_1\frac{m}{4}\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{1}{16}k_1ma^2=\frac{1}{16}\Theta_{\mathrm{a,tkp}}. \)

(Felhasználtuk, hogy a kis síkidom méretei a nagy méreteinek fele, és így a tömege a nagy tömegének negyede.) Rakjuk össze a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát a négy kis háromszögéből a Steiner-tétel segítségével, felhasználva, hogy három kis háromszög tömegközéppontja a közös tömegközépponton átmenő tengelytől \(\displaystyle d\) távolságra helyezkedik el:

\(\displaystyle k_1ma^2=4\cdot\frac{1}{16}k_1ma^2+3\cdot\frac{m}{4}d^2=\frac{1}{4}k_1ma^2+\frac{3}{4}m\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=\left(\frac{1}{4}k_1+\frac{1}{16}\right)ma^2. \)

Az egyenletből \(\displaystyle k_1=\tfrac{1}{12}\) adódik. Végül a csúcson átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékot a Steiner-tétel alapján határozzuk meg (felhasználva, hogy a tömegközéppont és a csúcs távolsága \(\displaystyle 2d=\tfrac{\sqrt{3}}{3}a\)):

\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a}}=\Theta_{\mathrm{a,tkp}}+m(2d)^2=\frac{1}{12}ma^2+\frac{1}{3}ma^2=\frac{5}{12}ma^2. \)

b) Hasonló módszerrel dolgozhatunk a \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{b}}\) tehetetlenségi nyomaték meghatározásakor is: a 2. ábrán látható módon ugyanúgy 4 kis háromszögre bontjuk a nagy háromszöget.

2. ábra

Keressük most a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{b}}=k_2ma^2\) alakban! A kis háromszögek magasságvonalra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka az előzőhöz hasonlóan a nagy háromszög magasságvonalra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékának \(\displaystyle \tfrac{1}{16}\)-od része. A nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát ismét a négy kis háromszögéből rakjuk össze a Steiner-tétel segítségével, felhasználva, hogy most két kis háromszög tömegközéppontja a tengelytől \(\displaystyle \tfrac{a}{4}\) távolságra helyezkedik el:

\(\displaystyle k_2ma^2=4\cdot\frac{1}{16}k_2ma^2+2\cdot\frac{m}{4}\left(\frac{a}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{4}k_2+\frac{1}{32}\right)ma^2. \)

Az egyenletből \(\displaystyle k_2=\tfrac{1}{24}\) adódik, tehát a keresett tehetetlenségi nyomaték:

\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{b}}=\frac{1}{24}ma^2. \)

c) Legyen a keresett tehetetlenségi nyomaték \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c}}\). A merőleges tengelyek tétele értelmében:

\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a}}=\Theta_{\mathrm{b}}+\Theta_{\mathrm{c}}, \)

amiből

\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c}}=\Theta_{\mathrm{a}}-\Theta_{\mathrm{b}}=\frac{3}{8}ma^2. \)

Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)

Megjegyzések. 1. A merőleges tengelyek tétele könnyen levezethető a tehetetlenségi nyomaték definíciója alapján. Egy síkidom tehetetlenségi nyomatéka bármely tengelyre a \(\displaystyle \Theta=\sum m_id_i^2\) összefüggéssel számítható ki, ahol \(\displaystyle d_i\) az adott kis tömegelem távolsága a kiválasztott tengelytől. A 4. ábrán látható, hogy a síklapra merőleges \(\displaystyle a\) tengelytől mért \(\displaystyle d_{a,i}\) távolságra fennáll, hogy \(\displaystyle d_{a,i}^2=d_{b,i}^2+d_{c,i}^2\), ahol \(\displaystyle d_{b,i}\) és \(\displaystyle d_{c,i}\) a síkban lévő, egymásra merőleges \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) tengelyektől mért távolságok. Ebből és a tehetetlenségi nyomaték fenti összegzős képletéből azonnal adódik a \(\displaystyle \Theta_{{a}}=\Theta_{{b}}+\Theta_{{c}}\) összefüggés.

3. ábra

2. A c) kérdésre ennek ismerete nélkül, az előző két esethez hasonló módon is adhatunk megoldást. Ekkor az a) részhez hasonlóan először a tömegközépponton átmenő, az egyik oldallal párhuzamos \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c,tkp}}\) tehetetlenségi nyomatékot határozzuk meg ugyanolyan módszerrel. A 4. ábrán most is \(\displaystyle d=\tfrac{\sqrt{3}}{6}a\).

4. ábra

Keressük a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát most \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c,tkp}}=k_3ma^2\) alakban! Egy kis háromszög tömegközéppontján átmenő, egyik oldallal párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka az előzőkhöz hasonlóan most is a nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékának \(\displaystyle \tfrac{1}{16}\)-od része. A nagy háromszög tehetetlenségi nyomatékát ismét a négy kis háromszögéből rakjuk össze a Steiner-tétel segítségével, felhasználva, hogy most két kis háromszög tömegközéppontja a tengelytől \(\displaystyle \tfrac{d}{2}\), míg egy kis háromszögé \(\displaystyle d\) távolságra helyezkedik el:

\(\displaystyle k_3ma^2=4\cdot\frac{1}{16}k_3ma^2+2\cdot\frac{m}{4}\left(\frac{d}{2}\right)^2+\frac{m}{4}d^2=\frac{1}{4}k_3ma^2+\frac{3}{8}m\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)^2=\left(\frac{1}{4}k_3+\frac{1}{32}\right)ma^2. \)

34005. ábra Az egyenletből \(\displaystyle k_3=\tfrac{1}{24}\) adódik. A csúcson átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékot ismét a Steiner-tétel alapján határozzuk meg (megint felhasználva, hogy a tömegközéppont és a csúcs távolsága \(\displaystyle 2d=\tfrac{\sqrt{3}}{3}a\)):

\(\displaystyle \Theta_{\mathrm{c}}=\Theta_{\mathrm{c,tkp}}+m(2d)^2=\frac{1}{24}ma^2+\frac{1}{3}ma^2=\frac{3}{8}ma^2, \)

az előző megoldással összhangban.

3. A megoldásokhoz más feldarabolással is el lehet jutni.

4. A tehetetlenségi nyomatékok kiszámíthatók integrálszámítással is. Különböző felosztásokat lehet használni, itt most a háromszöglapot \(\displaystyle \mathrm{d}x\) szélességű, \(\displaystyle \ell=\tfrac{2}{\sqrt{3}}x\) hosszúságú kis téglalapokból fogjuk összerakni (5. ábra), amelyek tehetetlenségi nyomatéka a középpontjukon átmenő, a szakaszra merőleges tengelyekre \(\displaystyle \mathrm{d}\Theta=\tfrac{1}{12}\ell^2\mathrm{d}m\), a szakaszon átmenő tengelyre pedig nulla. A kis szakasz tömegét a \(\displaystyle \mathrm{d}m=\tfrac{m}{A}\ell\mathrm{d}x\) összefüggéssel fejezhetjük ki, ahol \(\displaystyle {A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2}\) a háromszög területe. Ahol szükséges, használjuk a Steiner-tételt.

5. ábra

Már az integrálás elvégzése előtt látszik, hogy teljesül a \(\displaystyle \Theta_{\mathrm{a}}=\Theta_{\mathrm{b}}+\Theta_{\mathrm{c}}\) összefüggés (merőleges tengelyek tétele).

30 dolgozat érkezett. Helyes 21 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.