Fórum: Valaki mondja meg!

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1863] Lóczi Lajos

2013-05-11 16:36:54

Természetesen értelmezhető az ilyen "+ $\infty$ - $\infty$ -típusú" integrál szimmetrikus módon is, ahogyan írtad, ezt hívják Cauchy-féle főértéknek, és pl. a $P.V.\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx=0$ szimbólummal jelöljük.

De ha a közönséges, (improprius értelemben vett) Riemann-integrálról van szó, akkor a szóban forgó $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx$ kifejezést nem definiáljuk.

Mindezzel csak arra szerettem volna rámutatni, hogy milyen nehéz vállalkozás igazi, "felhasználóbarát" határozatlanintegrál-táblázatot csinálni: a felhasználó ki szeretne számolni egy $\int_{a}^{b}f(x)dx$ határozott integrált, mint pl. az [1840]-es hozzászólásban szereplő háromparaméteres kifejezést, úgy, hogy csak be kelljen helyettesítenie az F(b)-F(a) képletbe, és ne neki (hanem a táblázat készítőjének) kelljen azzal törődnie, hogy a képlet helyes eredményt adjon, figyeljen az értelmezési tartományokra, vagy hogy pl. fellép-e a fent is említett + $\infty$ - $\infty$ eset.

Előzmény: [1861] polarka, 2013-05-09 15:43:41

[1862] Micimackó	2013-05-09 16:18:49
Szerintem jobb nem értelmezni az ilyen +végtelen-végtelen típusú integrálokat, csak a baj lenne velük. Szerintem nem is szokták, hiába szimmetrikus.
Előzmény: [1861] polarka, 2013-05-09 15:43:41

[1861] polarka

2013-05-09 15:43:41

Két különböző területet számoltunk. Nem ugyanazt kétféleképpen.

Azon részével "nem értek egyet", hogy az egyik határt $\delta$ -nak, a másikat meg 2 $\delta$ -nak határoztad meg. Én alapértelmezetten azonosnak venném a kettőt. Szimmetrikusan kezelném a területszámítást, ameddig egy adott konkrét példánál elő nem kerülne, hogy a két oldalon más-más határnál szűnik meg az 1/x-es függés. Mert ugye egy ilyet csak konkrét határok figyelembevételével lehetne kiértékelni. Ezen utosó mondatomból is következik, hogy a processzor tudja, hogy milyen értékre számol területet, vagy ha csak elkezdi a vakvilágba, akkor is tudja számolni, hogy hányadik lépésnél tart, ergo a két proci össze tudja hasonlítani, hogy melyikőjük hol tart.

Szerintem a megoldás: Vagy jelöljük mindig konkrétan, hogy mit értünk alatta vagy elfogadunk egy értelmezést alapértelmezettnek és a többit jelöljük külön. (Szerintem a szimmetrikus eléggé adja magát.)

Előzmény: [1860] Lóczi Lajos, 2013-05-07 17:23:59

[1860] Lóczi Lajos

2013-05-07 17:23:59

Az nem lenne jó, ha itt mindkettőnknek igaza lenne és a területet kétféleképpen is lehetne definiálni.

Konkrétan, melyik részlépéssel nem értesz egyet a levezetésemben? Továbbá képzeljük azt, hogy az egyik processzor a bal oldali területet számolja ki, a másik pedig a jobb oldalit: az egyik nem tud arról, hogy a másik "ugyanannyira közelíti-e a 0-t".

Mi legyen a megoldás?

Előzmény: [1859] polarka, 2013-05-07 17:18:23

[1859] polarka

2013-05-07 17:18:23

Mindkettőnknek!?

Az nyilván igaz, hogy [-1,0) között a fv -1 szerese a (0,1] közötti részének, tehát előjeles összegük 0-ra kell kijöjjön, ha ugyanannyira közelíted a 0-t mindkét oldalról. Ha pedig a feltétel nem teljesül, akkor nyilván nem lesz 0.

Előzmény: [1858] Lóczi Lajos, 2013-05-07 16:53:33

[1858] Lóczi Lajos

2013-05-07 16:53:33

Akkor viszont ellent kell mondjak Neked, mert szerintem a terület

$\int_{-1}^1 \frac{1}{x}dx=\int_{-1}^0 \frac{1}{x}dx+\int_{0}^1 \frac{1}{x}dx=\lim_{\delta\to 0^+}\int_{-1}^{-\delta} \frac{1}{x}dx+\lim_{\delta\to 0^+}\int_{2\delta}^{1} \frac{1}{x}dx=\lim_{\delta\to 0^+}(\ln|\delta|-\ln|2\delta|)=-\ln{2}.$

Most akkor kinek van igaza?

Előzmény: [1857] polarka, 2013-05-07 16:36:30

[1857] polarka	2013-05-07 16:36:30
Igen.
Előzmény: [1856] Lóczi Lajos, 2013-05-07 16:13:32

[1856] Lóczi Lajos

2013-05-07 16:13:32

Egyetértek, a cél nyilván az, hogy ezeket a formulákat pl. területszámításra használjuk. De akkor meg kell kérdezzem, hogy a korábbi c₁=c₂=c választással kapott primitívfüggvény-sereg megfelel-e a területszámítási intuíciónknak:

$\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}dx=c-c=0?$

Vagyis ebben a példában a szimmetrikus területet valóban 0-nak szeretnénk definiálni?

Előzmény: [1855] polarka, 2013-05-07 16:06:46

[1855] polarka

2013-05-07 16:06:46

Talán, mert ha majdan függvény alatti területként szeretné valaki használni, akkor a következő határozott integrált kapnánk $\int_{-c}^{c} \frac{1}{x} dx=c_1-c_2\ne 0$ , ahol c $\in$ R⁺

Ami nem felelne meg a területszámítási intuíciónak.

Előzmény: [1854] Lóczi Lajos, 2013-05-07 15:17:27

[1854] Lóczi Lajos

2013-05-07 15:17:27

Akkor -- továbbra is csak a valós számok körében maradva -- azt kérdezném, hogy mi az oka annak, hogy számos integráltáblázatban azt látom, amit írtál, miszerint

$\int \frac{1}{x} dx=\ln |x| +c.$

Azt írod, hogy az értelmezési tartomány legyen a maximális, azaz a 0-tól különböző valósok halmaza. Ha lerajzoljuk ezeket a függvényeket, akkor látszik, hogy mind tengelyesen szimmetrikusak. Én mondok egy bővebb függvényosztályt eredményül:

$\int \frac{1}{x} dx=\ln(x) +c_1,$

ha x>0, és

$\int \frac{1}{x} dx=\ln(-x) +c_2,$

ha x<0. Vagyis itt a két ág függőleges eltolása már nem feltétlenül ugyanaz.

Miért nem ezt a bővebb osztályt szokták akkor a könyvek feltüntetni?

Előzmény: [1851] polarka, 2013-05-07 10:52:50

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?