Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
Ennek a kétrészes cikknek az a célja, hogy megismertesse az olvasót a projektív geometria néhány olyan alapvető fogalmával és tételével, amelyek nem igényelnek mély előismereteket, középiskolás tudással tárgyalhatók és segítséget nyújthatnak középiskolások számára kitűzött feladatok megoldásához is.
A projektív geometria eredete a reneszánsz idejére tehető, amikor nem matematikusok, hanem festők kezdték tanulmányozni a valósághű ábrázolás és ezen keresztül a középpontos vetítés szabályait.
A félszemű festő szerencsére nem volt gyakori a reneszánsz idején sem. De az igen, hogy egy festő egyik szemével hunyorítva nézte a tájat, tárgyakat, így próbálván felderíteni a perspektivikus képüket. Ennek a „hunyorításnak” az absztrakt megfelelője lesz most a Félszemű Festő, \(\displaystyle FF\), aki szeretne realista képet készíteni a vásznára (jelölje \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)) az Alföld (jelölje \(\displaystyle \mathcal{A}\)) egy darabjáról. Mit kell tennie? Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\) valamilyen átlátszó anyagból készült téglalap, \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t nem tartalmazó sík, \(\displaystyle FF\) egyetlen szeme, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t tartalmazó \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkra nem illeszkedik. A festőnek szeme sem rebben, tehát az \(\displaystyle E\) pont helye rögzített.
1. ábra
Amikor \(\displaystyle FF\) az Alföldet \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n keresztül nézi, az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík egy konkrét \(\displaystyle P\) pontja esetén egy fénysugár érkezik a szemébe. Ez a fénysugár \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t az \(\displaystyle EP\) szakasz valamely \(\displaystyle P'\) pontjában döfi. Ha a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n lévő \(\displaystyle P'\) pontot \(\displaystyle FF\) a \(\displaystyle P\) pont színére festi, akkor a \(\displaystyle P\) pont a festék takarásába kerül, de ezt \(\displaystyle FF\) nem veszi észre, mert a \(\displaystyle P\)-ből a szemébe érkező fénysugár szerepét átveszi egy \(\displaystyle P'\)-ből érkező fénysugár, amely a szemében ugyanazt a hatást váltja ki. Ha ezt az eljárást az ábrázolni kívánt alakzat összes látható pontjára elvégzi, akkor \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n az alakzat egy élethű képét kapja, hiszen festményére, vagyis a kapott színes pontok összességére ránézve ugyanazt látja, mintha az eredeti alakzatra nézne.
Ez a nagyon leegyszerűsített eljárás azt mutatja, hogy az élethű képek készítésekor fontos szerepet játszik az euklidészi tér valamely síkjának a tér egy másik síkjára való középpontos vetítése.
Legyen \(\displaystyle \mathcal{A}\) és \(\displaystyle \mathcal{V}\) két egymást metsző sík az euklidészi térben, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem \(\displaystyle \mathcal{V}\)-re nem illeszkedik. A \(\displaystyle \Phi \)-vel jelölt \(\displaystyle E\) középpontú centrális vetítés \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ról \(\displaystyle \mathcal{V}\)-re legyen az a transzformáció, amely egy tetszőleges \(\displaystyle {P\in \mathcal{A}}\) pont esetén \(\displaystyle P\)-hez az \(\displaystyle EP\) egyenesnek a \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkkal vett metszéspontját rendeli hozzá, feltéve, hogy a metszéspont létezik. Azoknak a \(\displaystyle P\) pontoknak, amelyekre \(\displaystyle EP\) párhuzamos \(\displaystyle \mathcal{V}\)-vel, nyilván nincs képük a \(\displaystyle \mathcal{V}\)-n. Ezek a pontok egy egyenest alkotnak (\(\displaystyle m\)). Látható, hogy az \(\displaystyle m\) egyenes az \(\displaystyle E\)-n átmenő \(\displaystyle \mathcal{V}\)-vel párhuzamos sík és az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík metszésvonala.
Vizsgáljuk meg, hogy mi lesz egy \(\displaystyle f\) egyenes képe a centrális vetítésnél. Ha \(\displaystyle {f=m}\), akkor persze egyetlen pontjának sincs képe.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
A KöMaL 2022 őszi számaiban Tóthmérész Lilla egy alapos cikksorozatot ([1]) közölt a négyszín-sejtés történetéről, benne kiemelten Alfred Kempe 1879-ben közölt bizonyítási kísérletéről, amelyben Heawood 1890-ben találta csak meg a hibát. A cikkben leírtakat érdemes kiegészíteni azzal, hogy 1880-ban egy másik, rendkívül érdekes bizonyítási kísérlet is történt. Egy Peter Guthrie Tait nevű skót matematikus ugyanis a következő szép állítást bizonyította, mindössze 1 évvel Kempe kísérlete után ...
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
