Bozóki Sándor
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Egy klasszikus feladat három edényről szól. A kék edény űrtartalma 8 liter, a zöldé 5 liter, a pirosé 3 liter. Kezdetben a kék edény tele van vízzel, a másik kettő üres. Az edényeken nincsenek jelzések. Egy edényből átönthetünk vizet egy másikba, egészen addig, amíg az előbbiből ki nem fogy, vagy az utóbbi meg nem telik. Érjük el, hogy a kék és a zöld edényben 4-4 liter víz legyen! (1. ábra)
1. ábra. A 8–5–3 literes öntögetős feladvány
Hasonló feladványokkal már a 15. században is foglalkoztak [2,3]. Dudeney [3] helyesen sejtette, hogy kell lennie egy szisztematikus megoldási módszernek is a hagyományos próbálgatás, illetve ,,kilogikázás'' mellett.
Egy ilyen, geometriai modellen alapulót ismertetünk [6,7] alapján.
Képzeljünk egy 5 és 3 oldalhosszúságú, 60 fokos paralelogramma alakú ,,biliárdasztalt'' (2. ábra). A paralelogramma minden pontja (beleértve a határát is és a belsejét is) megfelel egy elvben lehetséges vízelosztásnak a zöld és a piros edények között. Érdemes berajzolni az ábrán látható segédvonalakat is. A vízszintes vonalak mentén haladva a piros, a másik két irányban haladva vagy a zöld, vagy a kék edényben változatlan a víz mennyisége.
2. ábra. A 8-5-3 literes feladvány ,,biliárdasztalos'' modellje
A 2. ábra rácspontjai az összes olyan vízelosztást mutatják, amelyek során minden edényben egész számú liternyi víz van. A célunk a \(\displaystyle (8,0,0)\) pontból eljutni a \(\displaystyle (4,4,0)\) pontba úgy, hogy végig rácsvonalakkal párhuzamosan – sőt, igazából rácsvonalak mentén – haladjunk, hiszen ez felel meg az egyik edényből egy másikba való átöntésnek. (Miközben a harmadik edényben a víz mennyisége változatlan.) Az már most is látható, hogy a paralelogramma belsejében lévő 8 rácsponton legfeljebb átutazóban mehetünk át, de megállni sosem fogunk, hiszen ekkor egyik edény sem telítődhetett és nem is ürülhetett ki.
Vizsgáljuk meg, hogy ténylegesen mely állapotok érhetők el a kezdeti \(\displaystyle (\textcolor{blue}{8}, \textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{red}{0})\) állapotból! Mivel csak a kék edényben van víz, ebből önthetünk a zöldbe vagy a pirosba. Kezdjük a zölddel: 5 liter vizet átöntünk, így a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{5}, \textcolor{red}{0})\) állapotba jutunk. Innen kétféleképpen léphetünk tovább: visszaöntjük a zöld edényből a kékbe mind az 5 liter vizet, visszajutva a kiinduló állapotba; vagy a zöld edényből a pirosba öntünk 3 liter vizet, annak beteléséig, azaz a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{2}, \textcolor{red}{3})\) állapotig. Érdemes ezt a 3. ábrán is követni. Egy pontszerű biliárdgolyó pályáját látjuk, amit a bal alsó \(\displaystyle (\textcolor{blue}{8}, \textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{red}{0})\) sarokból vízszintesen meglökve, majd a fizika törvényei szerint a jobb alsó \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{5}, \textcolor{red}{0})\) sarokból 60 fokos szögben elpattanva a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{2}, \textcolor{red}{3})\) állapotba jutunk. Visszafelé most is léphetnénk, de azzal nem kapnánk új állapotokat. Továbbhaladni háromféleképpen lehet: a zöld edényből önthetünk a kékbe 2 liter vizet, vagy a kékből a zöldbe 3 litert, vagy a pirosból a kékbe 3 litert. E harmadik lehetőség az érdekes, hiszen a másik kettőt, amik a biliárdasztal valamelyik csúcsába visznek, egyébként is el tudnánk érni a kiinduló állapotból egy vagy két lépésben.
A 3. ábrán folytatva a golyó útját, már látszik is a megoldás: \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3},\textcolor{darkgreen}{2},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{6},\textcolor{darkgreen}{2},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{6},\textcolor{darkgreen}{0},\textcolor{red}{2})\to (\textcolor{blue}{1},\textcolor{darkgreen}{5},\textcolor{red}{2})\to (\textcolor{blue}{1},\textcolor{darkgreen}{4},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{4},\textcolor{darkgreen}{4},\textcolor{red}{0})\), ami éppen a célállapot.
3. ábra. Egy lehetséges út a (8, 0, 0) állapotból a (4, 4, 0) állapotba
Kíváncsiságból megnézhetjük a golyó további útját: \(\displaystyle (\textcolor{blue}{4},\textcolor{darkgreen}{4},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{4},\textcolor{darkgreen}{1},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{7},\textcolor{darkgreen}{1},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{7},\textcolor{darkgreen}{0},\textcolor{red}{1})\to (\textcolor{blue}{2},\textcolor{darkgreen}{5},\textcolor{red}{1})\to (\textcolor{blue}{2},\textcolor{darkgreen}{3},\textcolor{red}{3})\to (\textcolor{blue}{5},\textcolor{darkgreen}{3},\textcolor{red}{0})\to (\textcolor{blue}{5},\textcolor{darkgreen}{0},\textcolor{red}{3})\), ahonnan visszaléphetünk a kiinduló \(\displaystyle \to\) \(\displaystyle (\textcolor{blue}{8}, \textcolor{darkgreen}{0}, \textcolor{red}{0})\) állapotba.
E hosszú körutunk során a paralelogramma kerületén minden rácspontban pattant a golyó, így ezek az állapotok mind elérhetők. Egyedül a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{darkgreen}{5}, \textcolor{red}{3})\) csúcsponti állapot nem esett eddig utunkba, de elérhettük volna a paralelogramma bármelyik felső vagy jobb oldali rácspontjából.
Ha az út legelején mégsem vízszintesen indultunk volna el, hanem jobbra felfelé, akkor is ezt a körutat kaptuk volna, csak visszafelé. Ez az észrevétel sorsdöntő lehet a feladat egy olyan lehetséges változatában, amelyben valamelyik kerületi rácspontnak, például az \(\displaystyle (\textcolor{blue}{1}, \textcolor{darkgreen}{4}, \textcolor{red}{3})\)-nak megfelelő állapot valamilyen okból nincs megengedve. A feladat ettől még megoldható marad.
4. ábra 4. ábra. Egy trükkösebb öntögetős feladat biliárdasztalos modellje
Tekintsünk most egy másik, kicsit bonyolultabb öntögetős feladatot! Legyen a piros edény 5, a zöld 7, a kék edény pedig 9 liter űrtartalmú, a kiinduló állapot pedig \(\displaystyle (\textcolor{blue}{0}, \textcolor{darkgreen}{6}, \textcolor{red}{5})\). Mivel a teljes vízmennyiség (11 liter) nagyobb, mint amennyi a legnagyobb edénybe fér, ezért a paralelogramma bal alsó sarkát le kell vágnunk, a kék edény 10 és 11 literes képzeletbeli szinthalmazaihoz tartozó rácspontokkal együtt. Le kell vágni a paralelogramma jobb felső sarkában lévő rácspontot is, mert a teljes vízmennyiség nem tudja a zöld és a piros edényeket egyszerre megtölteni. A biliárdasztalunk tehát most hatszög alakú (4. ábra), amelyben a golyó pályája ugyanolyan szemléletesen követhető, mint a korábbi, egyszerűbb esetben. Elérhető-e a \(\displaystyle (\textcolor{blue}{3}, \textcolor{darkgreen}{3}, \textcolor{red}{5})\) célállapot?
Találjunk ki további öntögetős feladványokat, és rajzoljuk fel a biliárdasztalos modelljüket! Vagy akár fordítva: kezdjük a rajzzal (mint például az 5. ábrán) és fogalmazzunk meg hozzá tartozó feladványokat, keressünk érdekes kezdő- és célállapotokat!
5. ábra. Keressünk a rajzhoz tartozó feladványokat!
A most tárgyalt geometriai modell abban a tekintetben hasonlít a 2024. szeptemberi [5] és októberi [8], illetve 2025. novemberi [1] számokban felrajzolt gráfokhoz, hogy az állapotoknak itt is egy-egy (rács)pont felel meg. Az öntögetős feladványban az állapotpárok közötti átmeneteket ugyan szintén be lehetne rajzolni élekkel [4], de a biliárdasztalos ábrázolás – a maga szabályaival – egyszerűbben és szemléletesebben jeleníti meg a megengedett lépéseket.
Jó szórakozást!
[1] Bozóki Sándor: A Hanoi tornyai feladvány gráfja, KöMaL, 2025. november.
[2] Nicolas Chuquet (1484): Triparty en la science des nombres.
[3] Henry Ernest Dudeney (1917): Amusements in Mathematics (109. o.).
[4] S. M. Hegde, S. Kulamarva (2025): A Graph-Theoretic Model for a Generic Three-Jug Puzzle, https://arxiv.org/abs/2308.13868.
[5] Kós Géza: Átkelés a folyón, KöMaL, 2024. szeptember.
[6] Hugo Steinhaus: Matematikai kaleidoszkóp, Gondolat Kiadó, 1984, 66–67. o.
[7] M. C. K. Tweedie (1939): A Graphical Method of Solving Tartaglian Measuring Puzzles, The Mathematical Gazette 23(255) 278–282.
[8] Vígh Viktor: Rejtvények, ördöglakatok rovat, KöMaL, 2024. október.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
