Beszámoló a 10. Európai Fizikai Diákolimpiáról

Szász Krisztián, Vankó Péter

Idén 2026. június 12. és 16. között Göteborgban, Svédország második legnagyobb városában rendezték meg az Európai Fizikai Diákolimpiát (EuPhO). A versenyen 34 európai és 7 Európán kívüli ország összesen 199 diákja vett részt, közülük 145 diák kapott érmet vagy dicséretet. A magyar csapat tagjai négy bronzérmet és egy dicséretet szereztek.

A Nemzetközi Fizikai Diákolimpiára (IPhO) és az Európai Fizikai Diákolimpiára (EuPhO) a felkészülés már szeptemberben elkezdődött: ebben a tanévben az ország öt városában (Budapesten, Debrecenben, Pécsett, Szegeden és Székesfehérváron) működött olimpiai szakkör. A jelenléti szakkörökön kívül továbbra is elérhető az IPhO Hungary YouTube-csatorna és a szakköri honlapra felkerülő feladatsorok. Ezen kívül ebben a tanévben már a havonta megrendezett háromnapos olimpiai táborokban is tanulhattak az érdeklődők. A válogatás február végén egy online formában megrendezett fordulóval kezdődött, amelyen bárki részt vehetett. Összesen negyvenketten küldtek be dolgozatot, közülük tizenkilenc diák kapott meghívást a további fordulókra. A válogatás online felkészítéssel és három villámversennyel folytatódott, majd a BME Fizikai Intézetében megrendezésre kerülő kétnapos döntővel zárult, ahol az elméleti feladatok mellett egy olimpiai stílusú mérési feladatot is meg kellett oldania a versenyzőknek. A felkészítések és a versenyek szervezésében Barankai Norbert, Berke Martin, Csépányi István, Sarkadi Tamás, Szász Krisztián, Széchenyi Gábor, Tasnádi Tamás és Vankó Péter vett részt. Az EuPhO-ra kiválasztott csapat:

Erdélyi Dominik (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium, 12. oszt.), felkészítő tanára: Schramek Anikó;

Kis Ágoston (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium, 11. oszt.), felkészítő tanára: Schramek Anikó;

Téti Miklós (Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium, 12. oszt.), felkészítő tanára: Schramek Anikó;

Tóth Kolos Barnabás (Eötvös József Gimnázium, 12. oszt.), felkészítő tanára: Varga Balázs;

Zádori Gellért (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, 12. oszt.), felkészítő tanára: Mike Péter.

A válogatóverseny szállás- és étkezési költségeire a MATFUND Alapítvány biztosított támogatást.

A csapat 2026. június 11-én este repülővel utazott Göteborgba, ahol másnap volt az olimpia megnyitója. A mérési és elméleti fordulókat június 13-án és 14-én rendezték meg. A versenyen kívül a diákoknak és a tanároknak is kirándulásokat (Brännö, Marstrand, Liseberg, Tanumshede, Kungälv) szerveztek. A moderációra (a megoldásokért járó végleges pontszám megvitatása, amely ezen a versenyen az IPhO-val szemben a diákok feladata) június 15-én volt lehetőség, és ezen a napon volt a búcsúvacsora is. Az eredményhirdetésre másnap, június 16-án délelőtt került sor a Nobel-díjas Anne L'Huillier előadását követően. A magyar csapat másnap délután repülővel utazott haza.

A versenyen maximálisan 50 pontot lehetett szerezni. A legjobb eredményt Bryant Yu, USA érte el (38,6 pont), a legjobb európai Sviatoslav Lavrenyuk, Ukraina (36,9 pont) volt. A versenyen 23 aranyérmet (25,2 ponttól), 37 ezüstérmet (16,5 ponttól), 51 bronzérmet (11,4 ponttól) és 36 dicséretet (7,5 ponttól) osztottak ki. A magyar csapat tagjainak eredményei:

Erdélyi Dominik 16,4 pont, bronzérem;

Tóth Kolos Barnabás 16,4 pont, bronzérem;

Téti Miklós 15,6 pont, bronzérem;

Zádori Gellért 13,0 pont, bronzérem.

Kis Ágoston 8,5 pont, dicséret;

A csapat vezetői Szász Krisztián és Vankó Péter voltak.

Az alábbiakban közöljük a verseny feladatait, a megoldások a verseny honlapján érhetők el: https://eupho.ee/eupho-2026/.

Az EuPhO-n való részvételt a Nemzeti Tehetség Program támogatta az NTP-NTMV-25-B-0006 számú pályázat keretében.

Elméleti feladatok

T1 – Ugró (10 pont)

Két egyforma, \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle \ell\) hosszúságú rudat az egyik végükön egy csukló kapcsol össze, amelyben egy torziós rugó van (1. ábra). A rugó egyforma nagyságú, ellentétes irányú \(\displaystyle \tau\) visszatérítő forgatónyomatékot fejt ki a csuklóban a rudakra:

\(\displaystyle \tau=2k\theta, \)

ahol \(\displaystyle 2\theta\) a rudak által bezárt szög (radiánban) és \(\displaystyle k\) a torziós rugóállandó (\(\displaystyle k\gg mg\ell\)).

1. ábra

A rendszert egy sima, vízszintes felületre helyezzük úgy, hogy a szabad végei a felületen legyenek, a csukló pedig felettük. A csuklót ezután lenyomjuk annyira, hogy a rudak a felületen feküdjenek ellentétes irányban, azaz \(\displaystyle \theta=\pi/2\) legyen. A rudak és a felület között a súrlódás elhanyagolható.

A csukló elengedése után az ugró felugrik. Határozd meg 1%-nál kisebb hibával a rendszer tömegközéppontja által elért maximális \(\displaystyle h\) magasságot! (10 pont)

T2 – Hiszterézis (10 pont)

Egy szolenoidnak \(\displaystyle N\gg 1\) menete van, sugara \(\displaystyle R\) és hossza \(\displaystyle \ell\gg R\). A szolenoid magja ferromágneses, a hiszterézisgörbéjét a 2. ábra mutatja. \(\displaystyle M\) a mag mágnesezettsége, amely a mag anyaga nélkül nulla lenne. Ezt a tekercs árama által létrehozott \(\displaystyle H\) mágneses térerősség határozza meg, a \(\displaystyle B\) indukciót pedig a \(\displaystyle B=\mu_0\,(H+M)\) összefüggés. \(\displaystyle M_0\) és \(\displaystyle H_0\) azonos nagyságrendűek. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle M\) csak akkor változhat, ha \(\displaystyle |H|\geq H_0\).

2. ábra

A tekercshez egy ideális, \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátort kapcsolunk, ezzel egy zárt áramkört létrehozva. Tegyük fel, hogy az összekötő vezetékek ellenállása elhanyagolható.

a) Kezdetben \(\displaystyle I_{\mathrm{i}}\) áram folyik az áramkörben, és a kondenzátor töltése nulla. \(\displaystyle I_{\mathrm{i}}\) elég nagy ahhoz, hogy \(\displaystyle H(I_{\mathrm{i}})\gg H_0\). Egy oszcilláció után az áram értéke újra elér egy maximális értéket. Határozd meg a különbséget \(\displaystyle I_{\mathrm{i}}\) és eközött a maximális érték között! (3 pont)

b) Határozd meg azt a maximális áramértéket, amely sok oszcilláció után elérhető! (2,3 pont)

c) Az áram \(\displaystyle I(t)\) időfüggvénye két, jellegében eltérő viselkedésű fázisból áll, ezeket jelölje A és B. A rendszer az A fázisban meghatározatlan ideig lehet, míg a B fázisban töltött minden egyes időtartam hossza meghatározott. Határozd meg azt a maximális, B fázisban töltött időtartamot, amely \(\displaystyle I_{\mathrm{i}}\) optimális választásával elérhető! (4,7 pont)

T3 – Szárazjéghoki (10 pont)

A szilárd \(\displaystyle \mathrm{CO}_2\) (szárazjég) \(\displaystyle p_0=100~\mathrm{kPa}\) nyomáson és \(\displaystyle T_{\mathrm{s}}=-78{,}5~{}^\circ\mathrm{C}\) hőmérsékleten szublimál (szilárd halmazállapotból gázhalmazállapotba kerül). A telített gőz nyomását a Clausius–Clapeyron-törvény írja le:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}p_{\mathrm{sat}}}{\mathrm{d}T}=\frac{\mu\lambda p_{\mathrm{sat}}}{RT^2}, \)

ahol \(\displaystyle \mu=0{,}044~\mathrm{kg}/\mathrm{mol}\) a \(\displaystyle \mathrm{CO}_2\) moláris tömege, \(\displaystyle \lambda=600~\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\) a szublimációs hő és \(\displaystyle R=8{,}3~\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})\) az egyetemes gázállandó. A \(\displaystyle \mathrm{CO}_2\) gáz hővezetési együtthatója \(\displaystyle \kappa=10~\mathrm{mW}/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})\), viszkozitása \(\displaystyle \eta=10~\mu\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}\). A szárazjég sűrűsége \(\displaystyle \varrho=1500~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\) és a nehézségi gyorsulás értéke \(\displaystyle g=10~\mathrm{m}/\mathrm{s}^2\).

3. ábra

Egy \(\displaystyle r=10~\mathrm{mm}\) sugarú hokikorong egy \(\displaystyle {h=1~\mathrm{mm}}\) vastagságú szárazjégkorongból és egy arra helyezett, \(\displaystyle M=0{,}01~\mathrm{kg}\) tömegű fémkorongból áll (3. ábra). A hokikorong kezdeti hőmérséklete \(\displaystyle T_{\mathrm{s}}\), a külső nyomás pedig \(\displaystyle p_0\).

A hokikorongot egy vízszintes, állandó \(\displaystyle T=T_{\mathrm{s}}+\Delta T\) hőmérsékleten tartott fémlemezre helyezzük, majd \(\displaystyle v=10~\mathrm{mm}/\mathrm{s}\) nagyságú, vízszintes irányú kezdősebességgel elindítjuk. Nagyon hosszú idő elteltével a hokikorong vízszintes elmozdulása \(\displaystyle L\).

a) Ha \(\displaystyle \Delta T\) elegendően kicsiny, akkor \(\displaystyle L\) elhanyagolható, és nem függ \(\displaystyle \Delta T\)-től. Azonban, ha \(\displaystyle \Delta T\) elér egy kritikus \(\displaystyle \Delta T_{\mathrm{c}}\) értéket, az \(\displaystyle L(\Delta T)\) függvény elkezd növekedni. Becsüld meg \(\displaystyle \Delta T_{\mathrm{c}}\) értékét! (2 pont)

b) Becsüld meg az \(\displaystyle L(\Delta T)\) függvény maximális \(\displaystyle L_{\mathrm{max}}\) értékét! (8 pont)

A \(\displaystyle \mathrm{CO}_2\) gázt ideális gázként kezelheted. Feltételezheted, hogy a hokikorong soha nem billen meg, minden felület tökéletesen sima, és a hővezetési együtthatókra fennáll, hogy \(\displaystyle \kappa_{\textrm{fém}}\gg\kappa_{\textrm{jég}}\gg\kappa\).

Kísérleti feladat

E – Akusztikus lebegtetés (20 pont)

4. ábra

Egy akusztikus lebegtető (4. ábra) olyan átalakítókat (transducer) tartalmaz, amelyek elektromos jelet alakítanak át erős hanghullámokká. A keletkező interferencia-mintázatban a hangnyomás a mintázat csomópontjai közelében lévő apró tárgyakat lebegtetni képes.

Figyelem! Ügyelj arra, hogy ne zárd rövidre a lebegtető felső és alsó csatlakozásait.

Eszközök (5. ábra)

A Két zöld LED. Ezeket ne kösd a tápegységre (G)!

B Különálló átalakító (transducer).

C Fém tartósín a lebegtető modullal és egy piros LED-del, amelyet pontforrásnak tekinthetünk.

D Eszköz a leeső tárgyak elkapására.

E 2 imbuszkulcs a beállításhoz.

F Elektromos egység LED és Mode X kapcsolókkal.

G Tápegység.

H Banándugós vezetékek.

I Ernyő.

J Ragasztószalag.

K Átlátszó vonalzó.

L Fémháló.

M Csipesz.

N 15 kék polisztirol golyócska.

O Fehér, ismeretlen anyagból készült, gömb alakú golyócskák (∅\(\displaystyle ~2{,}0~\mathrm{mm}\)).

P Átlátszó, gömb alakú üveggolyócskák (∅\(\displaystyle ~2{,}0~\mathrm{mm}\), \(\displaystyle \varrho_\textrm{üveg}=2500~\mathrm{kg/m^3}\)).

Q 3 különböző, ismeretlen folyadék I, II és III jelöléssel.

R 3 fecskendő.

S 3 tompa végű tű a fecskendőkhöz. (Óvatosan!)

T 2 ruhacsipesz.

U Stopper.

V Lámpa.

W Tápkábel.

X Papír a fémháló szárításához (nincs a képen).

Ha úgy gondolod, valamelyik eszköz hiányzik, szólj a mérésvezetőnek!

5. ábra

A LED-modul beállítása. Az elrendezést a csavarokkal állíthatod be a 6. ábrán látható módon. Az 1-es nyilakkal jelölt csavarokkal a LED-modul vízszintes, míg a 2-es nyilakkal jelölt csavarokkal a függőleges elmozdítását és elforgatását állíthatod.

6. ábra

Az E1–E7. feladatok eredményei függetlenek egymástól. Azokat a feladatokat, amelyekkel nehezen boldogulsz, kihagyhatod.

A következő feladatoknál csak a \(\displaystyle z\) tengelyen lévő csomópontokat vegyed figyelembe. Az E3-as és az azt követő feladatoknál csak a középső csomópontot használd. Az elektromos egységen (5. ábra F) található Mode X kapcsolónak 0 állásban kell lennie.

E1. Az akusztikus mező vizsgálata (1 pont)

Az akusztikus mező megismeréséhez készíts olyan eszközt a zöld LED-ek (A) és az átalakító (B) segítségével, amely a lokális akusztikus intenzitásnak megfelelően bocsát ki fényt. Az átalakító egy olyan kondenzátor, amelynek töltése a rá ható mechanikai nyomástól függ.

a) Vázold az eszközöd kapcsolási rajzát! (0,5 pont)

b) Az eszközöd segítségével becsüld meg, hogy körülbelül mekkora távolságra van két szomszédos csomópont a lebegtető közepén a \(\displaystyle z\) tengely mentén! (0,5 pont)

E2. Az akusztikus lebegtető tulajdonságai (4 pont)

A következőkben egy kis szilárd test lebegtetéséhez a csatlakoztatott tápegység feszültségét kezdetben magas értékre, például 17 V-ra állíthatod. A tárgyat csipesszel helyezheted el a csomópontokra. Megjegyezzük, hogy a lebegő test a légörvények miatt vízszintesen rezeghet; várj egy kicsit, amíg a helyzet stabilizálódik. A kis rezgések nem befolyásolják hátrányosan a mérési eredményeket.

a) Tervezz meg, vázolj fel és használj egy kísérleti elrendezést, amellyel a lehető legpontosabban meghatározhatod az átalakítók frekvenciáját! A hang sebessége a levegőben \(\displaystyle v\approx 340~\mathrm{m}/\mathrm{s}\). (2 pont)

b) Állítsd az elektromos egységen (F) a Mode X kapcsolót 1 állásba, hogy átváltson egy másik üzemmódra, amelyben a lebegtető felső felében található érzékelők kissé eltérő frekvenciát (\(\displaystyle f+\Delta f\)) kapnak, mint az alsó felében lévők. Írd le a lebegő testek megváltozott viselkedését ebben az üzemmódban, és határozd meg a \(\displaystyle \Delta f\) frekvenciakülönbséget és annak előjelét! (2 pont)

Ne felejtsd el a Mode X kapcsolót újra 0 állásba állítani a további feladatokhoz!

E3. Szilárd golyócskák sűrűsége (3 pont)

A lebegtetett tárgyak a nehézségi erő miatt kicsivel a csomópontok alatt lesznek. A testre ható \(\displaystyle \mathbf{F}\) visszatérítő akusztikus erő arányos \(\displaystyle P^2\)-tel, ahol \(\displaystyle P\propto U\) az akusztikus nyomásamplitúdó a duzzadóhelyeken és \(\displaystyle U\) a tápegység feszültsége.

Határozd meg az ismeretlen golyócskák (O) sűrűségét olyan pontosan, ahogy csak lehet! Az üveggolyócskák (P) sűrűsége \(\displaystyle \varrho_\textrm{üveg}=2500~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\). A golyócskák (O és P) mérete megegyezik. (3 pont)

Tanács: Gömb alakú testeknél a csomóponttól való kis \(\displaystyle \Delta\mathbf{z}\) távolságvektor esetén használhatod a következő közelítést:

\(\displaystyle \mathbf{F}=-f(R)P^2\Delta\mathbf{z}, \)

ahol \(\displaystyle f(R)\) a lebegtetett test \(\displaystyle R\) sugarának valamilyen ismeretlen függvénye.

E4. Párologtatás (3 pont)

A további feladatok során folyadékokat fogsz lebegtetni, amelyek apró cseppeket képeznek a csomópontokban. A tűvel (S) ellátott fecskendők (R) segítségével helyezd a cseppeket a lebegtetőbe. A szennyeződés elkerülése érdekében minden folyadékhoz külön fecskendőt használj. A legtöbb cseppméret esetében a megfelelő kezdőfeszültség 8–12 V; magasabb feszültség esetén a cseppek szétpukkanhatnak.

Figyelem! Ne önts folyadékot az elektronikus alkatrészekre és az érzékelőkre!

A lebegtető alján lévő fémhálót (L) tartsd a helyén; ha nedves lesz, vedd le és hagyd megszáradni. Ha úgy tűnik, hogy az érzékelők nem működnek megfelelően, emeld fel a ,,HELP'' táblát.

A lebegő cseppek pontos alakja bonyolult lehet. A mérsékelten deformált cseppeket \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) féltengelyű ellipszoidként lehet közelíteni, amelynek térfogata:

\(\displaystyle V=\frac{4\pi}{3}abc. \)

Ebben a feladatban a lebegtetőben lévő folyadékcsepp párolgását fogod vizsgálni. Az \(\displaystyle D\gtrsim 1{,}5~\mathrm{mm}\) átmérőjű csepp párolgásának egyszerűsített leírása szerint:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}(D^2)}{\mathrm{d}t}=-\gamma, \)

ahol \(\displaystyle D\) a csepp ekvivalens átmérője, azaz egy olyan gömb átmérője, amelynek \(\displaystyle V\) térfogata megegyezik a valódi csepp térfogatával és \(\displaystyle \gamma\) a párolgási állandó.

Ebben a feladatban csak az I-es folyadékot vizsgáld, és tartsd a feszültséget állandó értéken.

a) Határozd meg a \(\displaystyle \gamma\) párolgási állandót \(\displaystyle \mathrm{m}^2/\mathrm{s}\) mértékegységben olyan cseppek esetében, amelyek ekvivalens átmérője \(\displaystyle D\gtrsim 1{,}5~\mathrm{mm}\)! (2,5 pont)

b) Az a) pontban kapott eredmény alapján túlbecsülnéd vagy alulbecsülnéd azt az időt, amíg egy csepp teljesen elpárolog? (0,5 pont)

E5. Felületi feszültség (2,5 pont)

A csepp alakja kizárólag a \(\displaystyle V\) térfogatától és a \(\displaystyle P^2/\sigma\) aránytól függ, ahol \(\displaystyle \sigma\) a folyadék felületi feszültsége.

a) Végezz el egy mérést annak megállapítására, hogy melyik folyadék (az I-es vagy a II-es) felületi feszültsége a kisebb! (0,5 pont)

b) Méréssel határozd meg az I-es folyadék felületi feszültségét, ha tudjuk, hogy a II-es folyadéké \(\displaystyle 0{,}073~\mathrm{N}/\mathrm{m}\)! (2 pont)

E6. Szétpukkanás (4 pont)

Ha az akusztikus nyomás túl nagy, a lebegtetett csepp szétpukkad. Az elméleti összefüggés a maximális feszültségre, amely még a csepp szétrobbanása nélkül alkalmazható:

\(\displaystyle U_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{\alpha}{D}+\beta}, \)

ahol \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) valamilyen állandók.

Ebben a feladatban csak a II-es folyadékot vizsgáld!

a) Határozd meg az \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) állandókat \(\displaystyle \mathrm{V}^2\cdot \mathrm{mm}\), illetve \(\displaystyle \mathrm{V}^2\) egységekben! (2 pont)

b) Határozd meg a még lebegtethető csepp maximális átmérőjét! (2 pont)

E7. Rejtélyes vonal (2,5 pont)

Azt a lebegtető feszültséget, amikor a lebegtetett csepp nagyon lapos lesz, úgy határozhatod meg, hogy a piros LED fénye a cseppen áthaladva egy éles vízszintes vonalat formál az ernyőn.

Ebben a feladatban csak a III-as folyadékot vizsgáld!

Készíts egy vázlatot arról, hogyan terjed a fénysugár a cseppben, amikor megjelenik a vonal! A fent leírt jelenség segítségével határozd meg a III-as folyadék \(\displaystyle n\) törésmutatóját! (2,5 pont)

Tanács: Ahhoz, hogy lásd a vonalat, a LED-et pontosan a csepphez kell beállítanod, lásd a 6. ábrát.

E8. Szándékos rongálásért járó büntetés (\(\displaystyle -0{,}5\) pont)

Minden eszközt és csomagolást működőképes állapotban kell otthagyni. A gondatlan bánásmód miatt tönkretett alkatrészekért és a figyelmeztető szövegek figyelmen kívül hagyásáért büntetés jár. (\(\displaystyle -0{,}5\) pont)

*

Az idei Nemzetközi Fizikai Diákolimpiáról (IPhO) lapunk októberi számában jelenik meg beszámoló.

2027-ben az EuPhO Törökországban, az IPhO Szaúd-Arábiában lesz. A versenyekre a felkészülés a szokásos módon 2026. szeptemberében kezdődik. A szakkörök helyéről, a szakkörvezetők elérhetőségéről és a foglalkozások időpontjáról a fizika diákolimpiai szakkörök hivatalos honlapján lehet tájékozódni: https://ipho.physics.bme.hu/. A szakkörökön kívül önálló munkával, a KöMaL elméleti és mérési feladatainak rendszeres megoldásával lehet készülni a jövő évi versenyekre.

Eredményes felkészülést kívánunk!