Beszámoló a 67. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról

Kós Géza

Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát (IMO) július 10. és 20. között Kína rendezte meg Sanghajban, 117 ország összesen 666 diákja részvételével. A zsűri tavalyi döntése alapján Oroszország újra részt vehetett az olimpián.

A magyar csapat

A IMO és MEMO csapatokat egy előre meghirdetett pontrendszer alapján választottuk ki, amelyben figyelembe vettük a 2025. november 21-i első válogatóverseny, a március 3-i Surányi János emlékverseny, az április 23–24-i kétnapos válogatóverseny, a tavalyi Kürschák-verseny, a 2024/25-os KöMaL A- és B-pontversenyek végeredményét, valamint a 2025/26-os KöMaL A- és B-pontversenyek március 31-i részeredményeit. A részleteket a https://olimpiak.bolyai.hu/olimpiak címen tettük közzé. Az IMO csapat tagjai:

• Aravin Péter, a Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium és a New York-i Ithaca High School 9. osztályos tanulója, felkészítő tanárai: Ádám Réka, Damásdi Gábor, Dobos Sándor, Kocsis Szilveszter és Pósa Lajos;
• Bodor Mátyás, a csíkszeredai Márton Áron Főgimnázium 12. osztályos tanulója, tanárai: Dobos Sándor, Kovács Benedek, Nagy Kartal, Pál Olga;
• Holló Martin, a Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium 12. osztályos tanulója, tanárai: Dobos Sándor, Gyenes Zoltán, Hujter Bálint, Kiss Géza, Nagy Kartal, Surányi László;
• Szakács Ábel, a Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium 12. osztályos tanulója, tanárai: Dobos Sándor, Gyenes Zoltán, Hujter Bálint, Nagy Kartal, Surányi László, Terpai Tamás;
• Vámosi Bendegúz Péter, a Debreceni Fazekas Mihály Gimnázium 12. osztályos tanulója, tanárai: Dobos Sándor, Remeténé Orvos Viola, Tóth Mariann, Mester Gyula, Nagy Kartal és Pósa Lajos;
• Vigh Zalán, a Szegedi Radnóti Miklós Gimnázium 12. osztályos tanulója, tanárai: Mike János és Schultz János.

A magyar csapat a megnyitó ünnepségen. Balról jobbra: Vámosi Bendegúz Péter, Vigh Zalán, Szakács Ábel, Aravin Péter, Holló Martin, Bodor Mátyás

A csapat vezetője Kós Géza (ELTE TTK Analízis Tanszék, HUN-REN SZTAKI); csapatvezető-helyettes, egyben a csapat kísérője Dobos Sándor (Budapesti Fazekas Mihály Gimnázium) volt. A magyar küldöttséggel utazott a 2027-es IMO több szervezője: Kunszenti-Kovács Dávid mint az IMO Board tagja és a norvég csapat vezetője, Karlócai Orsolya mint az IMO Association munkatársa, valamint Freud Róbert és Kós Rita mint megfigyelő. Ezenkívül Záhorský Ákos a szlovák csapat vezetőjeként, Haiman Milan a Feladatkiválasztó Bizottság (PSC) tagjaként és a pontozást segítő koordinátorként, Csahók Tímea koordinátorként vett részt az IMO-n.

A magyar küldöttség az IMO zászlójával az eredményhirdetés után. Balról jobbra: Kós Géza, Kós Rita, Karlócai Orsolya, Kunszenti-Kovács Dávid, Bodor Mátyás, Záhorský Ákos, Holló Martin, Freud Róbert, Szakács Ábel, Dobos Sándor, Vigh Zalán, Vámosi Bendegúz Péter, Aravin Péter

Látványosságok

A hivatalos program részeként többféle kirándulás közül választhattunk: meglátogathattuk a Sanghaj Múzeumot, az ősi Zhujiajiao várost vagy a sanghaji Disneylandet. Ezen kívül a hazautazás napján felkerestük az Oriental Pearl Towert, ahol sétálhattunk 259 méter magasságban az üvegpadlón (már aki rá mert lépni).

Qing-dinasztiabeli porcelánok a Sanghaj Múzeumban

Zhujiajiao

Rendhagyó csapatkép 259 méter magasságban

A 67. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai

A versenyen, szokás szerint, mindkét napon négy és fél óra alatt három-három feladatot kellett megoldani.

Első nap

1. feladat. Valaki felírt a táblára 2026, nem feltétlenül különböző, 1-nél nagyobb egész számot. Konfuciusz minden lépésben kiválaszt két egész számot, \(\displaystyle m>1\)-et és \(\displaystyle n>1\)-et két különböző helyről a táblán, és ezt a két számot kicseréli a

\(\displaystyle \mathop{\rm gcd}(m,n) \qquad \text{és} \qquad \frac{\mathop{\rm lcm}(m,n)}{\mathop{\rm gcd}(m,n)} \)

számokra. Ezt a lépést addig ismétli, amíg csak lehetséges.

(a) Bizonyítsuk be, hogy – függetlenül Konfuciusz választásaitól – véges sok lépés után pontosan egy olyan \(\displaystyle M\) egész szám marad a táblán, amely nagyobb 1-nél.

(b) Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle M\) értéke nem függ Konfuciusz választásaitól.

(Megjegyzés: \(\displaystyle \mathop{\rm gcd}(x,y)\) az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív egész számok legnagyobb közös osztóját, \(\displaystyle \mathop{\rm lcm}(x,y)\) pedig az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) legkisebb közös többszörösét jelöli.)

Javasolta: Luxemburg

2. feladat. Legyen \(\displaystyle ABC\) egy háromszög, és legyen \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontja. Válasszuk meg a \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle L\) pontokat a \(\displaystyle BMC\), illetve a \(\displaystyle BNC\) háromszög belsejében úgy, hogy a \(\displaystyle K\) az \(\displaystyle ABL\), az \(\displaystyle L\) pedig az \(\displaystyle AKC\) háromszög belsejébe essen. Tegyük fel, hogy

\(\displaystyle KBA\sphericalangle = ACL\sphericalangle, \qquad LBK\sphericalangle = LNC\sphericalangle \qquad \text{és} \qquad LCK\sphericalangle = BMK\sphericalangle. \)

Legyen \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle AKL\) háromszög köré írt kör középpontja. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle {OM=ON}\).

Javasolta: Ukrajna

3. feladat. Legyen \(\displaystyle n\) pozitív egész. Liu Bangnak és Csang Junak van egy \(\displaystyle 1\) egység hosszú pálcája, amit fel akarnak osztani egymás között. Előbb Liu kijelöl legfeljebb \(\displaystyle n\) pontot a pálcán, utána Csang is kijelöl legfeljebb \(\displaystyle n\) pontot a pálcán. A megjelölt pontok különbözők. Ezután a pálcát elvágják minden megjelölt ponton, így néhány darabra esik szét. Ezek után felváltva kiválasztják maguknak a pálca egy-egy olyan darabját, amit még senki sem választott; Liu választ először. Mindkét játékos célja az, hogy a magának kiválasztott darabok hosszának összege a lehető legnagyobb legyen.

Határozzuk meg minden egyes \(\displaystyle n\)-re a legnagyobb olyan \(\displaystyle c\) értéket, amelyre Liu biztosan elérheti, hogy a pálca darabjainak összege legalább \(\displaystyle c\) legyen, függetlenül attól, hogyan játszik Csang.

Javasolta: Oroszország

Második nap

4. feladat. Sanyi és Mári játszik. Legyen \(\displaystyle 0^\circ < \theta < 180^\circ\) adott szög, amit mindkét játékos ismer. Kezdéskor Sanyi papírból készít egy \(\displaystyle T\) háromszöget, amelynek méreteit ő választja meg. Ezután a következő lépést ismételgetik:

[labelwidth=3mm,labelsep=2mm,leftmargin=5mm]

• Ha \(\displaystyle T\)-nek van legalább egy, pontosan \(\displaystyle \theta\) nagyságú szöge, akkor a játék véget ér, és Mári nyer.
• Különben Mári választ a \(\displaystyle T\) kerületén egy, a három csúcstól különböző \(\displaystyle P\) pontot. Ezután a \(\displaystyle T\) háromszöget a \(\displaystyle P\)-től a \(\displaystyle T\) szemközti csúcsáig egy egyenes vágással két háromszögre vágja szét.
• Sanyi eldobja az egyik háromszöget. A megmaradt háromszög lesz az új \(\displaystyle T\).

A \(\displaystyle \theta\) mely valós értékei esetén tudja Mári biztosan megnyerni a játékot, bárhogyan is játszik Sanyi?

Javasolta: Svájc

5. feladat. Legyen \(\displaystyle \mathbb R_{>0}\) a pozitív valós számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}\) függvényt, amelyre

\(\displaystyle \sqrt{\frac{x^2 + f(y)^2}{2}} \geq \frac{f(x) + y}{2} \geq \sqrt{xf(y)} \)

teljesül minden \(\displaystyle x,y\in \mathbb R_{>0}\) esetén.

Javasolta: Lettország

6. feladat. Legyen \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\), \(\displaystyle \ldots\) egy 1-nél nagyobb pozitív egészekből álló végtelen sorozat. Tegyük fel, hogy minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re az \(\displaystyle a_{n+1}\) szám a legkisebb olyan, \(\displaystyle a_n\)-nél nagyobb pozitív egész, amelyre \(\displaystyle \mathop{\rm gcd}(a_{n+1}, a_i) > 1\) minden \(\displaystyle i=1,2,\ldots, n\) esetén. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle L\) pozitív egészek, amelyekre

\(\displaystyle a_{n+T} = a_n + L \)

teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle n\)-re.

(Megjegyzés: \(\displaystyle \mathop{\rm gcd}(x,y)\) a pozitív egész \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számok legnagyobb közös osztóját jelöli.)

Javasolta: Tajvan

Eredmények

A versenyen mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 pont járt, így egy versenyző legfeljebb 42 pontot szerezhetett. Ez idén összesen hét (három kínai, két amerikai, egy brit és egy dél-koreai) diáknak sikerült.

A verseny hagyományainak megfelelően a versenyzők körülbelül \(\displaystyle 1/12\) része, a 29–42 pontot elért legjobb 55 versenyző aranyérmet, a következő \(\displaystyle 2/12\) rész, a 23–28 pontot elért 105 versenyző ezüstérmet, az ezután következő \(\displaystyle 3/12\) rész, a 16–22 pontot elért 189 versenyző pedig bronzérmet nyert. Az a 141 versenyző, aki nem nyert díjat, de legalább egy feladatot kifogástalanul megoldott, dicséretben részesült.

A magyar csapat eredményei

Az egész csapatnak gratulálunk, különösen Szakács Ábelnek, aki a harmadik aranyérmét nyerte.

Az összehasonlítás kedvéért a táblázat végén összesítettem az összes és a közvetlen vetélytársnak számító 10–26. helyezett csapatok eredményeit. Jól megfigyelhető, hogy kombinatorikában továbbra is tartjuk az előnyünket a világ nagy része előtt: a harmadik feladatra csak Kína, az USA, Oroszország, Dél-Korea és – meglepetésre – Szlovákia kapott több pontot, mint a magyar csapat. Ugyanakkor a második, geometria feladatot senki sem tudta megoldani a csapatból.

Csapatverseny

Az olimpia hivatalosan egyéni verseny, de a csapatokat az elért összpontszám alapján is sorba rendezik. A nem hivatalos csapatversenyben a 16–17. helyen végeztünk:

A részletes eredmények a https://www.imo-official.org/results/individual/year/2026 címen tanulmányozhatók.

Köszönetnyilvánítás

Szeretnénk köszönetet mondani a versenyzők tanárainak. A egész évi felkészülés helyszíne hagyományosan a Bolyai János Matematikai Társulat által támogatott, kéthetente tartott központi olimpiai szakkör és a KöMaL pontversenye mellett az év végi angol–magyar tábor. Ebben a tanévben a munka kiegészült a MATFIN Alapítvány által fenntartott Olimpiai iskolai táborokkal, ahol két korcsoportban, több fiatal és idősebb felkészítő tanár vezetésével tarthattunk foglalkozásokat.

A központi olimpiai felkészítő szakkör vezetője Dobos Sándor, a felkészítő táborok fő szervezője Kovács Benedek, Dobos Sándor és Kiss Géza volt. A szakköri és tábori foglalkozások szervezésében és megtartásában, valamint a válogatóversenyek lebonyolításában és a dolgozatok javításában számos segítőnk részt vett: Borbényi Márton, Csaplár Viktor, Dobos Sándor, Duchon Márton, Elekes Dorottya, Erdélyi Kata, Fleiner Tamás, Gyenes Zoltán, Győrffy Ágoston, Győrffy-Kerekes Anna, Horváth Áron, Hujter Bálint, Imolay András, Imolay-Kocsis Anett, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kiss Géza, Kiss Melinda Flóra, Kós Géza, Kovács Benedek, Kovács Tamás, Lenger Dániel, Molnár-Szabó Vilmos, Móricz Benjamin, Nádor Benedek, Nagy Leila, Németh Márton, Seres-Szabó Márton, Simon Ferenc, Simon László Bence, Tóth Géza, Velich Nóra.

A csapat utazását a Belügyminisztérium Nemzetközi Főosztálya és az Oktatási és Gyermekügyi Minisztérium fizette. Ezúton is köszönjük Mátékovitsné Petróci Katalin és Besenyei Csilla Krisztina segítségét.

Jövőre Budapesten

Jövőre Magyarország rendezi a Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát, 2027. július 16–26. között, Budapesten. Javasoljuk, hogy Olvasóink további információért látogassák meg a jövő évi verseny honlapját a https://imo2027.hu címen, és keressék fel közösségi médiás oldalainkat is.

Az IMO 2027 hivatalos videója

A jövő évi csapat tagjait az ideihez hasonló módon fogjuk kiválasztani. Mindenkinek, aki szeretne bekerülni akár a jövő évi, akár a 2028-as vagy a 2029-es csapatba, és eredményesen szerepelni, ajánljuk, hogy tanulmányozza a válogatás szabályait a https://olimpiak.bolyai.hu/olimpiak címen, és vegyen részt a KöMaL A- és B-pontversenyeiben.

A kínai csapat átadja az olimpiai zászlót a magyar csapatnak