Eisner Tímea, Meiszterics Zoltánné
Ezek a feladatsorok azért készülnek, hogy felkészülési lehetőséget biztosítsanak az írásbeli érettségire azoknak, akik emelt szintű vizsgát kívánnak tenni. A feladatsorokat tapasztalt tanárok állítják össze, köztük olyanok is, akik maguk is részt vesznek az érettségi feladatok összeállításában.
Idén is lehetőségetek van beküldeni a megoldásotokat az emeltkomal@gmail.com címre. A beérkezett dolgozatokat kijavítjuk és visszaküldjük, így is segítve a felkészüléseteket. (A beküldéssel kapcsolatos technikai tudnivalókat a feladatsor végén találjátok meg.)
A legszorgalmasabb, illetve a legeredményesebb beküldők között a tanév végén KöMaL ajándéktárgyakat sorsolunk ki.
Sikeres felkészülést kívánunk!
1. a) Oldja meg a
\(\displaystyle \sin^2(x)-\cos^2(x)=\frac{1}{2} \)
egyenletet a \(\displaystyle \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right[\) intervallumon! (7 pont)
(b) Oldja meg az
\(\displaystyle \bigl(x^2-x-2\bigr)\cdot \lg(x)=\cos \frac{\pi}{2} \)
egyenletet! (6 pont)
2. a) Tamás százkötetes könyvtára magyar, angol és német nyelvű könyvekből áll. A könyvek \(\displaystyle p\)%-a magyar nyelvű, az idegen nyelvű könyvek \(\displaystyle p\)%-a angol nyelvű; német nyelvű könyv mindössze egy van. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek számát! (6 pont)
b) Adja meg azon mértani sorozatok hányadosát, amelyeknek első tagjuk \(\displaystyle 1\), és bármely tagjuk a rákövetkező két tag számtani közepével egyenlő! (7 pont)
3. Legyen adott \(\displaystyle f\colon[-2;2]\rightarrow\mathbb{R}\); \(\displaystyle f(x)=x^2+2x+c\) függvény, ahol \(\displaystyle c\) valós paraméter.
a) Hogyan kell megválasztani a \(\displaystyle c\) paraméter értékét ahhoz, hogy a függvény minimumának értéke \(\displaystyle -3\) legyen? Adja meg ekkor a függvény értékkészletét! (6 pont)
b) Adja meg az alábbi állítás logikai értékét! Válaszát indokolja! (3 pont)
,,Ha két egyszerű gráfban a megfelelő csúcsok fokszáma páronként egyenlő, akkor a két gráf izomorf.''
c) Fogalmazza meg a fenti állítás megfordítását! (2 pont)
4. Két olyan dobókockával dobunk egyszerre, amelyek mindegyikének egy lapjára \(\displaystyle 0\), két lapjára \(\displaystyle 3\), három lapjára pedig \(\displaystyle 6\) van írva. Legyen \(\displaystyle A\) halmaz a két kockával dobott számok lehetséges összegeinek halmaza, \(\displaystyle B\) pedig a két kockán dobott szám lehetséges szorzatainak halmaza!
a) Adja meg az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) halmazt! (2 pont)
b) Feltéve, hogy a dobott számok összege \(\displaystyle 6\), mennyi a valószínűsége, hogy a szorzat értéke páros? (5 pont)
c) Határozza meg a dobott számok összegének várható értékét! (7 pont)
5. A Pécs közelében található híres Rotary körsétány jó közelítéssel egy körvonalon halad, amelynek egyenlete a térképre helyezett koordináta-rendszerben
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}-6x-4y-12=0. \)
a) Mekkora a körsétány száz méterre kerekített hossza, ha a koordináta-rendszer egysége \(\displaystyle 200\) méter? (4 pont)
A körsétány legnépszerűbb bejárata a térkép \(\displaystyle (6;-2)\) pontjában van, a legtöbben itt csatlakoznak be a körsétányba, egyben itt található egy kilátó. A város további kilátókat szeretne építeni, hogy a túrázók több irányból gyönyörködhessenek a panorámában. A tervezők úgy döntöttek, hogy a meglévő mellé további három kilátót helyeznek el a körsétány mentén úgy, hogy ezek egy négyzet csúcsain álljanak.
b) Határozza meg a másik három kilátó koordinátáit! (9 pont)
Miklós újévi fogadalmát megtartva 2026 januárjától kezdve havonta teljesítette a Rotary körsétát. Minden alkalommal feljegyezte, hogy mennyi idő alatt ért körbe. Az első három hónapban átlagosan 2 óra 8 perc alatt teljesítette a távot, a következő öt hónapban 2 óra 4 perc alatt.
c) Milyen átlagot kell elérnie az utolsó négy hónapban, hogy az egész évre (12 hónapra) vonatkozóan átlagosan 2 óra alatt teljesítse a Rotary körtúrát? (3 pont)
6. Egy dobozban nyolc piros, három fehér és négy zöld \(\displaystyle 2\times 2\)-es építőkocka található.
Anna belenyúl a dobozba, egymás után három darabot kivesz belőle, és a kivétel sorrendjében egymás tetejére teszi az elemeket.
a) Mennyi a valószínűsége annak, hogy éppen egy magyar zászlót szimbolizáló piros-fehér-zöld tornyot kap? (2 pont)
Anna végül három különböző színű kockát húzott. Bori belemarkolt a dobozba, amelyben a maradék kockák voltak és néhányat kivett belőlük. Éppen annyi kockát vett ki, amennyi legalább ahhoz szükséges, hogy véletlenszerű húzás esetén is biztosan legyen legalább egy színből legalább két kocka.
b) Mennyi a valószínűsége, hogy ekkor Bori pontosan két piros kockát tart a kezében? (4 pont)
Csilla két egyforma, az ábrán látható \(\displaystyle 2\times 2\)-es piros, IMO feliratú kockával játszik.
Ezeket úgy szeretné összeépíteni, hogy az egyik alját a másik tetejére illesztve legalább egy bütyök segítségével egymáshoz rögzíti őket.
c) Hányféleképpen tudja összeépíteni a két kockát úgy, hogy oldallapjaik párhuzamosak legyenek? (Két építmény különböző, ha forgatással nem hozhatóak fedésbe.) (8 pont)
d) A c) részben különbözőnek tekintett építmények között hány olyan van, amelyeket ránézésre nem tudunk megkülönböztetni? (2 pont)
7. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a természetes számok halmazán:
b) Bizonyítsa be, hogy minden \(\displaystyle 6\)-ra végződő négyzetszámban a tízesek helyiértékén páratlan számjegy áll! (Négyzetszámon egy természetes szám második hatványát értjük.) (8 pont)
8. Egy trapéz alakú telek területe \(\displaystyle 3600~\text{m}^2\). A telek egyik átlós útja a telket egy szabályos és egy nem szabályos háromszög alakú részre osztja. A két rész területének aránya a megadott sorrendben \(\displaystyle 5:4\).
a) Mekkorák a trapéz oldalai és szögei? (10 pont)
A trapéz alakú sík telek egy emelkedőn van. Alapélei vízszintesek, de a hosszabbik alapja \(\displaystyle 10\) méterrel magasabban van, mint a rövidebb. A rövidebb él egy pontjából az alapokra merőlegesen elindul felfelé egy önvezető akkumulátoros fűnyíró, amely a lenyírt füvet a gyűjtőjébe pakolja, így egyre nagyobb erőt kell kifejtenie a továbbhaladásához. Ezt az erőt az \(\displaystyle F(x)=80+x\) képlet adja meg (Newtonban), ahol \(\displaystyle x\) a fűnyíró által a kiindulási ponttól megtett út (méterben). Így a gép \(\displaystyle t\) méter megtételéhez összesen
\(\displaystyle W(t)=\int_0^{t}(80+x)\,dx \)
Joule energiát használ fel.
b) Mekkora távolságot tud megtenni a fűnyíró, ha az akkumulátorból általa kinyerhető energia \(\displaystyle 3300~\mathrm{J}\)? (6 pont)
9. a) Legyen \(\displaystyle f\) egy, a valós számok halmazán értelmezett harmadfokú függvény. Az ábrán a deriváltfüggvény (\(\displaystyle f'\)) grafikonjának egy részletét láthatjuk, ahol a két zérushely az \(\displaystyle x_1\) és az \(\displaystyle x_3\), a deriváltfüggvény minimumhelye pedig az \(\displaystyle x_2\).
A megjelölt négy intervallum mindegyikén vizsgálja meg \(\displaystyle f\) első és második deriváltjának előjelét! Pozitív esetben írja a táblázat megfelelő mezőjébe, hogy \(\displaystyle P\), negatív esetben, hogy \(\displaystyle N\). Az \(\displaystyle f\) függvényre vonatkozóan vizsgálja meg az adott intervallumon a monotonitását és konvexitását is. A választ szövegesen írja a táblázat megfelelő cellájába! (8 pont)
b) Adjon meg az a) részben szereplő \(\displaystyle f\) függvények közül egy olyat, amelynek deriváltfüggvényére teljesül, hogy \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle {x_3=5}\). (3 pont)
Egy laboratóriumban egy ritka baktériumfaj szaporodását vizsgálják. A baktériumok száma az idő függvényében az alábbi exponenciális modellel becsülhető:
\(\displaystyle N(t)=150\cdot 1{,}25^t \qquad (t>0), \)
ahol \(\displaystyle t\) a kísérlet kezdetétől eltelt idő órákban, \(\displaystyle N(t)\) pedig a baktériumok száma.
c) Eléri-e a baktériumok száma a 15. óra végére a \(\displaystyle 4100\)-at? (2 pont)
d) Határozza meg, hogy mennyi idő után növekedik a kezdeti érték a tizenegyszeresére! Válaszát egész órára kerekítse! (3 pont)
Ha szeretnéd, hogy a megoldásodat értékeljük, akkor ehhez kupont, illetve bérletet vásárolhatsz a MATFUND alapítványnál: https://komalujsag.myshoprenter.hu/szolgaltatasok-172
A megoldást szkennelve vagy fényképezve, lehetőség szerint egyetlen pdf file-ban mellékeld az emeltkomal@gmail.com címre küldött leveledhez. A levélben szerepeljen a megrendelésed azonosítója is. A megoldás leírásakor és szkennelésekor/fényképezésekor is ügyelj a jól olvashatóságra! Ha a kép felbontása 200 dpi, akkor az általában megfelelő.
A dolgozatból derüljön ki, hogy ki készítette, tehát tüntesd fel az elején a nevedet, iskoládat, osztályodat!
A kijavított dolgozatot arra a címre küldjük vissza, ahonnan az eredeti érkezett.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
