Szerk
P. 5708. Az ábrán látható vízszintes asztal és a rajta lévő \(\displaystyle m\) tömegű test között a súrlódási együttható \(\displaystyle \mu=0{,}5\). A homogén korongnak tekinthető csigák súrlódásmentesen foroghatnak, a fonalak nem csúsznak meg a csigák peremén.
Mekkora nagyságú és milyen irányú erővel terheli a mennyezetet a hozzá rögzített állócsiga?
(5 pont)
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
I. megoldás. Ha az asztalon lévő test gyorsulása \(\displaystyle a\), akkor a mozgócsiga és a rá akasztott test közös gyorsulása \(\displaystyle \frac{a}{2}\) (hiszen ha az asztalon lévő test \(\displaystyle x\) távolsággal mozdul el, akkor az állócsiga és a mennyezethez rögzített pont közti fonalhossz \(\displaystyle x\)-szel nő, és ez a mozgócsiga mindkét oldalán \(\displaystyle \frac{x}{2}\) növekedést jelent). Mivel a fonalak nem csúsznak meg, ezért \(\displaystyle r\) sugarú csigák esetén az állócsiga szöggyorsulása \(\displaystyle \frac{a}{r}\), a mozgócsigáé pedig \(\displaystyle \frac{a}{2r}\). Jelölje a testhez kötött fonalrészletben az erőt \(\displaystyle K_1\), a két csiga közötti fonalrészletben \(\displaystyle K_2\), a mennyezet és a mozgócsiga közötti fonalrészletben pedig \(\displaystyle K_3\) (1. ábra).
1. ábra
A dinamika alapegyenletét alkalmazzuk az asztalon mozgó testre és a függőlegesen mozgó testekre (mozgócsiga és a ráakasztott test együtt), a forgómozgás alapegyenletét pedig az álló- és a mozgócsigára (felhasználva, hogy a homogén korong tehetetlenségi nyomatéka \(\displaystyle \frac{1}{2}mr^2\)):
Az (1) egyenletből
\(\displaystyle K_1=m(a+\mu g). \)
Ezt a (3) egyenletbe beírva adódik, hogy
\(\displaystyle K_2=m\left(\frac{3}{2}a+\mu g\right), \)
majd ezt a (4) egyenletbe beírva pedig
\(\displaystyle K_3=m\left(\frac{7}{4}a+\mu g\right). \)
Ezeket a (2) egyenletbe behelyettesítve:
\(\displaystyle \left(3g-\frac{3}{2}a-\mu g-\frac{7}{4}a-\mu g\right)m=\frac{3}{2}ma, \)
amiből \(\displaystyle \mu=0{,}5\) értékét felhasználva
\(\displaystyle a=\frac{8}{19}g. \)
Ebből
A mennyezet által a csigára ható erő vízszintes és függőleges komponense:
Ebből a keresett erő nagysága:
\(\displaystyle F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}\approx 2{,}32\,mg, \)
a függőlegessel bezárt szöge pedig:
\(\displaystyle \alpha=\arctg\frac{F_x}{F_y}=\arctg\frac{35}{81}\approx 23{,}4^\circ. \)
Rajtik Sándor Barnabás (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
II. megoldás. A testek gyorsulását a munkatétellel is meghatározhatjuk. Az elengedés után \(\displaystyle t\) idővel az asztalon mozgó test elmozdulása és sebessége, valamint az állócsiga szögsebessége:
\(\displaystyle s=\frac{1}{2}at^2,\qquad v=at,\qquad \frac{v}{r}=\frac{a}{r}t. \)
A függőlegesen mozgó test elmozdulása és sebessége, illetve a mozgócsiga szögsebessége az I. megoldás gondolatmenete alapján ezen értékek fele (2. ábrán).
2. ábra
A munkatétel alapján a súrlódási erő \(\displaystyle S=\mu mg\) és a tehetetlenségi nyomaték \(\displaystyle \frac{1}{2}mr^2\) kifejezését, valamint \(\displaystyle \mu=0{,}5\) értékét is felhasználva az asztalon csúszó test gyorsulása:
az előző megoldással összhangban. Innentől a megoldás megegyezik az I. megoldással.
34 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 12, hiányos (1–2 pont) 10, hibás 2, nem értékelt 1 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5711. Öt egyforma \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor és egy \(\displaystyle U\) belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.
a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?
b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra cseréljük?
Közli: Németh Róbert, Budapest
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
