Szerk
(5 pont)
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
Megoldás. a) Az üstökös parabolapályájának \(\displaystyle F\) fókuszában a Nap van, így az egybeesik a földpálya középpontjával.
1. ábra
Az 1. ábrán is látható, hogy a parabola \(\displaystyle v\) vezéregyenese a parabola definíciója szerint éppen érinti a Föld \(\displaystyle R\) sugarú körpályáját. (A parabola minden pontja ugyanakkora távolságra van az \(\displaystyle F\) fókusztól, mint a \(\displaystyle v\) vezéregyenestől.) A Naphoz legközelebbi pontja (perihéliuma) a parabola \(\displaystyle C\) csúcspontjában van, itt a Naptól mért távolsága (szintén a definíció szerint):
\(\displaystyle r_{\mathrm{p}}=\frac{R}{2}=75~\textrm{millió km}=7{,}5\cdot 10^{10}~\mathrm{m}. \)
Ekkor a sebessége megegyezik az ebben a pontban érvényes szökési sebességgel:
\(\displaystyle v_{\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r_{\mathrm{p}}}}=\sqrt{\frac{4\gamma M}{R}}\approx 5{,}95\cdot 10^4~\mathrm{m}/\mathrm{s}=59{,}5~\mathrm{km}/\mathrm{s}. \)
(Itt \(\displaystyle \gamma=6{,}67\cdot 10^{-11}~\mathrm{Nm}^2/\mathrm{kg}^2\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M=1{,}99\cdot 10^{30}~\mathrm{kg}\) pedig a Nap tömege.)
Megjegyzés. A sebességre vonatkozó kifejezést az alapján is megkaphatjuk, hogy a parabolapálya miatt az \(\displaystyle m\) tömegű üstökös teljes mechanikai energiája nulla:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{\mathrm{p}}^2-\gamma\frac{mM}{r_{\mathrm{p}}}=0, \)
amiből a sebességre ugyanúgy a fenti kifejezést kapjuk.
b) Az üstökös Naphoz viszonyított perdülete állandó. Ezt felírva a \(\displaystyle C\) pontra és a Föld pályáját keresztező pontokra:
\(\displaystyle mr_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}=mRv_{\mathrm{F}}\cos\varphi, \)
ahol
\(\displaystyle v_{\mathrm{F}}=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}=\frac{v_{\mathrm{p}}}{\sqrt{2}}. \)
Ebből a keresett szög:
\(\displaystyle \varphi=\arccos\frac{r_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}}{Rv_{\mathrm{F}}}=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ. \)
Elekes Panni (Budapest-Fasori Evangélikus Gimn., 11. évf.)
Megjegyzés. A b) kérdésre optikai analógia segítségével is megadhatjuk a választ. A parabola (térben forgási paraboloid) tengelyével párhuzamosan érkező fénysugarak úgy verődnek vissza a parabolatükörről, hogy azok a fókuszponton mennek keresztül. A két pálya metszéspontjaiba érkező, a parabola tengelyével párhuzamos sugarak eltérülése \(\displaystyle 90^\circ\)-os, tehát a két pálya \(\displaystyle 45^\circ\)-ban metszi egymást.
2. ábra
38 dolgozat érkezett. Helyes 30 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 5, hiányos (1–3 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
