Szerk
(5 pont)
Közli: Honyek Gyula, Veresegyház
Megoldás. a) Az üstökös parabolapályájának \(\displaystyle F\) fókuszában a Nap van, így az egybeesik a földpálya középpontjával.
1. ábra
Az 1. ábrán is látható, hogy a parabola \(\displaystyle v\) vezéregyenese a parabola definíciója szerint éppen érinti a Föld \(\displaystyle R\) sugarú körpályáját. (A parabola minden pontja ugyanakkora távolságra van az \(\displaystyle F\) fókusztól, mint a \(\displaystyle v\) vezéregyenestől.) A Naphoz legközelebbi pontja (perihéliuma) a parabola \(\displaystyle C\) csúcspontjában van, itt a Naptól mért távolsága (szintén a definíció szerint):
\(\displaystyle r_{\mathrm{p}}=\frac{R}{2}=75~\textrm{millió km}=7{,}5\cdot 10^{10}~\mathrm{m}. \)
Ekkor a sebessége megegyezik az ebben a pontban érvényes szökési sebességgel:
\(\displaystyle v_{\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{2\gamma M}{r_{\mathrm{p}}}}=\sqrt{\frac{4\gamma M}{R}}\approx 5{,}95\cdot 10^4~\mathrm{m}/\mathrm{s}=59{,}5~\mathrm{km}/\mathrm{s}. \)
(Itt \(\displaystyle \gamma=6{,}67\cdot 10^{-11}~\mathrm{Nm}^2/\mathrm{kg}^2\) a gravitációs állandó, \(\displaystyle M=1{,}99\cdot 10^{30}~\mathrm{kg}\) pedig a Nap tömege.)
Megjegyzés. A sebességre vonatkozó kifejezést az alapján is megkaphatjuk, hogy a parabolapálya miatt az \(\displaystyle m\) tömegű üstökös teljes mechanikai energiája nulla:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_{\mathrm{p}}^2-\gamma\frac{mM}{r_{\mathrm{p}}}=0, \)
amiből a sebességre ugyanúgy a fenti kifejezést kapjuk.
b) Az üstökös Naphoz viszonyított perdülete állandó. Ezt felírva a \(\displaystyle C\) pontra és a Föld pályáját keresztező pontokra:
\(\displaystyle mr_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}=mRv_{\mathrm{F}}\cos\varphi, \)
ahol
\(\displaystyle v_{\mathrm{F}}=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R}}=\frac{v_{\mathrm{p}}}{\sqrt{2}}. \)
Ebből a keresett szög:
\(\displaystyle \varphi=\arccos\frac{r_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}}{Rv_{\mathrm{F}}}=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ. \)
Elekes Panni (Budapest-Fasori Evangélikus Gimn., 11. évf.)
Megjegyzés. A b) kérdésre optikai analógia segítségével is megadhatjuk a választ. A parabola (térben forgási paraboloid) tengelyével párhuzamosan érkező fénysugarak úgy verődnek vissza a parabolatükörről, hogy azok a fókuszponton mennek keresztül. A két pálya metszéspontjaiba érkező, a parabola tengelyével párhuzamos sugarak eltérülése \(\displaystyle 90^\circ\)-os, tehát a két pálya \(\displaystyle 45^\circ\)-ban metszi egymást.
2. ábra
38 dolgozat érkezett. Helyes 30 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 5, hiányos (1–3 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
M. 449. Készítsünk torziós ingát egy befőttesüvegből úgy, hogy az üveget függőleges helyzetében két párhuzamos cérnával felfüggesztjük. (A cérnaszálak hossza legyen 1 méter, távolságuk pedig egyezzen meg az üveg szájának átmérőjével. A csavaros tető segítségével rögzíthetőek.)
Mérjük meg a torziós inga lengésidejét az üvegbe töltött kristálycukor mennyiségének függvényében!
(6 pont)
Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)
