Szerk
P. 5712. Egy pontszerű világító szentjánosbogár egyenes pályán mozogva keresztezte egy \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) fókusztávolságú vékony lencse optikai tengelyét. A bogár pályája \(\displaystyle 60^\circ\)-os, a bogár képének pályája \(\displaystyle 30^\circ\)-os szöget zár be az optikai tengellyel. A lencsétől mérve mekkora távolságra keresztezte a szentjánosbogár a lencse optikai tengelyét?
(5 pont)
KVANT nyomán
I. megoldás. Induljunk ki a leképzési törvényből:
A lencse nagyítása – az optikai tengelyre merőleges nagyítás – (1) alapján:
\(\displaystyle N=\frac{K}{T}=\frac{k}{t}=\frac{f}{t-f}. \)
Az optikai tengellyel párhuzamos nagyítást az (1) kifejezésből deriválással kaphatjuk meg:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{d}t}=\frac{-f^2}{(t-f)^2}=-N^2. \)
A pályák optikai tengellyel bezárt szöge (meredeksége) az elmozduláskomponensekből fejezhető ki. A bogár esetében:
\(\displaystyle \tg\alpha=\left|\frac{\Delta y}{\Delta t}\right|, \)
a kép esetében
\(\displaystyle \tg\beta=\left|\frac{\Delta y'}{\Delta k}\right|. \)
Behelyettesítve a \(\displaystyle \Delta y'=N\Delta y\) és \(\displaystyle \Delta k=-N^2\Delta t\) kifejezéseket:
\(\displaystyle \tg\beta=\left|\frac{N\Delta y}{-N^2\Delta t}\right|=\left|\frac{1}{N}\right|\tg\alpha. \)
A nagyítás abszolút értéke a megadott szögekből:
\(\displaystyle |N|=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta}=\frac{\tg 60^\circ}{\tg 30^\circ}=3. \)
A tárgytávolság meghatározásához oldjuk meg az \(\displaystyle |N|=3\) egyenletet:
\(\displaystyle \left|\frac{f}{t-f}\right|=3. \)
I. eset (valódi, fordított állású kép):
II. eset (látszólagos, egyenesállású kép):
A szentjánosbogár tehát a lencsétől 20 cm vagy 40 cm távolságra keresztezte az optikai tengelyt.
Az Entrópiatagadók csapat: Budai Máté, Nacsa Domán (Gyula, Erkel F. Gimn., 12. évf.)
II. megoldás. Két esetet különböztetünk meg. Ha a szentjánosbogár a fókusztávolságon kívül keresztezi az optikai tengelyt, akkor valódi képek jönnek létre. Azok a fénysugarak, amelyeket a bogár különböző pillanatokban a repülési irányába bocsát ki, ugyanott haladnak és a lencsén való irányváltozás után éppen a képpontok által kijelölt egyenessel esnek egybe (1. ábra).
1. ábra
Ha az irányváltozás helye az optikai tengelytől \(\displaystyle r\) távolságban van, akkor az \(\displaystyle ORT\) és \(\displaystyle OKR\) félszabályos háromszögekre alkalmazott Pitagorasz-tételből kapjuk, hogy
tehát \(\displaystyle k=3t\). Ebből a leképezési törvény alapján:
2. ábra
Ha \(\displaystyle t<f\), akkor a szentjánosbogár látszólagos (virtuális) képe jön létre a lencsének a bogár felé eső oldalán, a lencsétől \(\displaystyle |k|=-k\) távolságban \(\displaystyle (k<0)\), amikor a fényforrás éppen áthalad az optikai tengelyen.
Most is felírhatjuk a 2. ábrán látható két félszabályos háromszög oldalaira, hogy
tehát \(\displaystyle k=-3t\), amiből a leképezési törvény alapján
\(\displaystyle t_2=\frac{2}{3}f=20~\mathrm{cm}. \)
Megjegyzés. A leképezési hibáktól mentes képalkotásban csak az optikai tengellyel kis szöget bezáró fénysugarak vesznek részt. A fenti megoldásban szereplő sugarak nem ilyenek, csak a szemléletesség kedvéért használtuk őket. Ezek nem vesznek részt a valódi képalkotásban, csak egy segédegyenes szerepét töltik be.
21 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Hiányos (2–3 pont) 9, hibás 4 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
