Vígh Viktor
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
A 2024. évi októberi KöMaL-ban ([5]) gráffal modellezhető játékokról írtunk, első példánk a következő volt: ,,Tekintsünk egy \(\displaystyle 1 \times 5\) méretű négyzetrácsot, amelynek a bal oldali két mezőjében egy-egy piros (P), a jobb oldali két mezőjében egy-egy kék (K) béka csücsül, a középső mező kezdetben üres (Ü). A piros békák jobbra haladnak, a kékek pedig balra. Egy lépésben egy béka átugorhat az előtte lévő üres mezőre, vagy átugorhatja az előtte levő mezőn csücsülő békát, ha a kettővel előtte lévő mező üres. A célunk, hogy a piros és a kék békák helyet cseréljenek.''
A játék – nem túlságosan bonyolult – gráfját is megadtuk, amelyről a megoldás könnyen leolvasható. A kedves olvasó kényelme kedvéért ezt a rajzot megismételjük, lásd 1. ábra.
1. ábra. A \(\displaystyle (2,2)\)-játék gráfja
A cikket néhány problémával zártuk. Közülük az első ez volt:
1. probléma. Általánosítsuk a békaugratós játékot \(\displaystyle n\) piros és \(\displaystyle m\) kék békára. (A játék kezdetén közöttük mindig egy üres hely van.) Megoldható-e mindig a feladat? Mit mondhatunk a lépésszámról?
Ezt a problémát fogjuk cikkünkben kielemezni. A békaugrató játék természetesen néhány érmével vagy számolókoronggal és egy rajzolt pályával vagy számítógépen [1] is játszható, de ismét bátorítunk mindenkit, hogy készítsen magának dedikált eszközt, így a feladvány nem merül feledésbe, és kellemesebb is a játék. Ezt megkönnyítendő, a KöMaL honlapról letölthető egy praktikus, 3D nyomtatható verziója 3 piros és 3 kék békával. (Tapasztalataink szerint ez a legjobban játszható változat.) Javasoljuk, hogy továbbolvasás előtt feltétlenül játsszon a kedves olvasó, és próbálja önállóan megválaszolni az 1. problémát.
2. ábra. A játék egy kereskedelmi változata
Az angol nyelvű szakirodalomban Toads and Frogs néven több, egymással közeli rokonságban álló játékot is találunk. A Richard Guy által bevezetett kétszemélyes változat a kombinatorikus matematikai játékok „bibliájában” [2] is szerepel. Az egyszemélyes puzzle-változatot már az 1970-es években is árusították, például Kanadában Brainbuster néven (5-5 békával), lásd 2. ábra.
A rövidség kedvéért az \(\displaystyle n\) piros és \(\displaystyle m\) kék békás feladványt \(\displaystyle (n,m)\)-játéknak fogjuk hívni, feltesszük, hogy \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\ge 1\), és megegyezünk abban, hogy mindig a piros békák haladnak balról jobbra, a kékek pedig jobbról balra. A játék állásainak leírása kézenfekvő: a piros békákat \(\displaystyle P\)-vel, a kékeket \(\displaystyle K\)-val, az üres helyet \(\displaystyle \square\)-tel jelölve például a \(\displaystyle (2,3)\)-játék kezdő állapota \(\displaystyle PP\square KKK\), ezt rövidíthetjük az értelemszerű \(\displaystyle P^2\square K^3\) formában.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
