Szerk
P. 5711. Öt egyforma \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor és egy \(\displaystyle U\) belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.
a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?
b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra cseréljük?
(4 pont)
Közli: Németh Róbert, Budapest
Megoldás. a) A kapcsolási rajzot kicsit átrajzolva (1. ábra) láthatjuk, hogy a négy szélső kondenzátor eredője szintén egy \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor, hiszen a sorba kapcsolt két-két kondenzátor eredő kapacitása \(\displaystyle \tfrac{C}{2}\), és ezeket párhuzamosan kapcsolva \(\displaystyle 2\cdot\tfrac{C}{2}=C\) kapacitást kapunk. Így az (eredetileg) középen elhelyezkedő (az ábrán piros) kondenzátorra
\(\displaystyle U_{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}U \)
feszültség jut, a rajta felhalmozott töltés így:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}CU. \)
1. ábra
b) Itt két esetet kell megkülönböztetnünk: vagy a középső, vagy valamelyik szélső kondenzátort cseréljük ki \(\displaystyle nC\) kapacitásúra. (A második esetben a szimmetria miatt mindegy, hogy melyiket.)
2. ábra
Az első esetben a 2. ábrán látható módon az \(\displaystyle U\) feszültség egy \(\displaystyle nC\) és egy \(\displaystyle C\) kapacitású, sorbakötött kondenzátor között oszlik meg. (A négy kondenzátor eredője ugyanúgy \(\displaystyle C\), mint az a) részben.) A keresett \(\displaystyle Q_{\mathrm{b}}'\) töltést kétféleképpen is fel tudjuk írni (hiszen a csomóponttól balra és jobbra – abszolút értékben – ugyanakkora töltésnek kell lennie):
\(\displaystyle Q_{\mathrm{b}}'=nCU_{\mathrm{b}}'=C(U-U_{\mathrm{b}}'). \)
Ebből az eredetileg középen álló (az ábrán pirossal jelölt) kondenzátor feszültsége:
\(\displaystyle U_{\mathrm{b}}'=\frac{1}{n+1}U, \)
és a keresett töltés:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{b}}'=nCU_{\mathrm{b}}'=\frac{n}{n+1}CU=\frac{2n}{n+1}Q_{\mathrm{a}}. \)
3. ábra
A másik esetet a 3. ábra mutatja. Ekkor a négy másik kapacitás eredője:
\(\displaystyle C_{\mathrm{e}}=nC\times C+C\times C=\frac{n}{n+1}C+\frac{1}{2}C=\frac{3n+1}{2n+2}C, \)
ahol a \(\displaystyle \times\) a ,,replusz'' jele (a reciprokok összegének a reciproka). A keresett \(\displaystyle Q_{\mathrm{b}}''\) töltést az előző esethez hasonlóan most is kétféleképpen tudjuk felírni:
\(\displaystyle Q_{\mathrm{b}}''=CU_{\mathrm{b}}''=\frac{3n+1}{2n+2}C(U-U_{\mathrm{b}}''), \)
amiből az eredetileg középen álló kondenzátor feszültségét kifejezve:
\(\displaystyle U_{\mathrm{b}}''=\frac{3n+1}{5n+3}U, \)
\(\displaystyle Q_{\mathrm{b}}''=CU_{\mathrm{b}}''=\frac{3n+1}{5n+3}CU=\frac{6n+2}{5n+3}Q_{\mathrm{a}}. \)
Fuchs Vince (Szekszárdi Garay János Gimn., 10. évf.)
16 dolgozat érkezett. Helyes 8 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 3, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
M. 449. Készítsünk torziós ingát egy befőttesüvegből úgy, hogy az üveget függőleges helyzetében két párhuzamos cérnával felfüggesztjük. (A cérnaszálak hossza legyen 1 méter, távolságuk pedig egyezzen meg az üveg szájának átmérőjével. A csavaros tető segítségével rögzíthetőek.)
Mérjük meg a torziós inga lengésidejét az üvegbe töltött kristálycukor mennyiségének függvényében!
(6 pont)
Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)
