Szerk
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
(4 pont)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
Megoldás. a) A szánkó az 1. ábrán látható módon a lejtőn álló helyzetből \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsul, a vízszintes szakaszon pedig \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességről megállásig lassul, így az átlagsebessége mindkét esetben \(\displaystyle \overline{v}=\frac{v_{\mathrm{max}}}{2}\).
1. ábra
A megtett utak aránya így megegyezik az idők arányával:
\(\displaystyle \frac{s_2}{s_1}=\frac{\overline{v}t_2}{\overline{v}t_1}=\frac{t_2}{t_1}=3. \)
A szánkó tehát a vízszintes szakaszon háromszor akkora utat tesz meg, mint a lejtőn.
b)
2. ábra
A lejtőn a testre a nehézségi erő, a lejtő nyomóereje és a súrlódási erő hat (2. ábra). A mozgást leíró egyenletek:
Ez alapján a szánkó gyorsulása a lejtőn:
\(\displaystyle a_1=(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)g. \)
A vízszintes szakaszon a szánkót \(\displaystyle \mu mg\) nagyságú erő fékezi, így
\(\displaystyle a_2=-\mu g. \)
Mivel
\(\displaystyle |a|=\frac{|\Delta v|}{t}, \)
és a sebességváltozás abszolút értéke a gyorsulás és fékezés során megegyezik,
\(\displaystyle \frac{a_1}{|a_2|}=\frac{t_2}{t_1}=3. \)
Ez alapján a csúszási súrlódási együttható:
c)
3. ábra
A vízszintes szakaszon a szánkó húzásához a súrlódási erőt kell legyőzni, így
\(\displaystyle F_2=\mu mg,\qquad W_2=F_2s_2=\mu mgs_2. \)
A lejtőn a súrlódási erőt és a nehézségi erő lejtőirányú komponensét kell legyőzni (3. ábra):
\(\displaystyle F_1=(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)mg,\qquad W_1=F_1s_1=(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)mgs_1. \)
A két munka hányadosa (felhasználva, hogy \(\displaystyle s_2=3s_1\)):
\(\displaystyle \frac{W_1}{W_2}=\frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{\mu}\,\frac{s_1}{s_2}=\frac{\sin\alpha+\mu\cos\alpha}{3\mu}\approx 1{,}66. \)
A gyerek a lejtőn kb. 1,66-szor több munkát végez, mint a vízszintes szakaszon.
Szabó Ábel (Zalaegerszegi Zrínyi M. Gimn., 9. évf.)
35 dolgozat érkezett. Helyes 17 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 13, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 449. Készítsünk torziós ingát egy befőttesüvegből úgy, hogy az üveget függőleges helyzetében két párhuzamos cérnával felfüggesztjük. (A cérnaszálak hossza legyen 1 méter, távolságuk pedig egyezzen meg az üveg szájának átmérőjével. A csavaros tető segítségével rögzíthetőek.)
Mérjük meg a torziós inga lengésidejét az üvegbe töltött kristálycukor mennyiségének függvényében!
(6 pont)
Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)
P. 5711. Öt egyforma \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor és egy \(\displaystyle U\) belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.
a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?
b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra cseréljük?
Közli: Németh Róbert, Budapest
