Szerk
M. 449. Készítsünk torziós ingát egy befőttesüvegből úgy, hogy az üveget függőleges helyzetében két párhuzamos cérnával felfüggesztjük. (A cérnaszálak hossza legyen 1 méter, távolságuk pedig egyezzen meg az üveg szájának átmérőjével. A csavaros tető segítségével rögzíthetőek.)
Mérjük meg a torziós inga lengésidejét az üvegbe töltött kristálycukor mennyiségének függvényében!
(6 pont)
Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)
Megoldás. A méréshez használt eszközök: állvány, fonál, befőttesüveg, cukor, digitális mérleg, stopperóra, mérőszalag, tolómérő, ragasztóanyagok. A mérési elrendezés vázlata az 1. ábrán látható. Az üres befőttesüveg tömege digitális mérleggel megmérve \(\displaystyle m_0=229{,}5~\mathrm{g}=0{,}2295\,\mathrm{kg}\), a két fonal távolsága megegyezik a kupak külső átmérőjével, ami tolómérővel mérve \(\displaystyle d=2r=6{,}6\,\mathrm{cm}=0{,}066\,\mathrm{m}\), a fonál szabad hossza a feladat szövegének megfelelően \(\displaystyle L=1\,\mathrm{m}\). A fonalakat a befőttesüveg csavaros tetejéhez pillanatragasztó és szigetelőszalag rögzíti, a torziós lengések periódusidejének mérését a kupakon egy sugárirányú fehér vonal segíti (2. ábra).
Elmélet. A közismert torziós ingánál a test egy rugalmas szálra van felfüggesztve, és a szál csavarodása adja a visszatérítő forgatónyomatékot. A kétfonalas torziós ingánál más a helyzet: a test elfordulásakor a kezdetben párhuzamos, függőleges szálak ferdévé válnak, és a test kis mértékben megemelkedik, ez okozza a visszatérítő forgatónyomatékot.
A 3. ábra alapján a henger alakú test kicsiny \(\displaystyle \varphi\) elfordulása és a fonalak függőlegessel bezárt (szintén kicsiny) \(\displaystyle \gamma\) szöge közötti kapcsolat:
\(\displaystyle r\varphi=L\gamma, \)
amiből a test kis megemelkedése:
\(\displaystyle h=L(1-\cos\gamma)\approx \frac{1}{2}L\gamma^2=\frac{r^2\varphi^2}{2L}, \)
a helyzeti energia megváltozása pedig:
\(\displaystyle E_\mathrm{h}=mgh=\frac{mgr^2\varphi^2}{2L}. \)
A visszatérítő nyomaték ennek szög szerinti deriváltjának \(\displaystyle (-1)\)-szerese:
\(\displaystyle M=-\frac{\mathrm{d}E_\mathrm{h}}{\mathrm{d}\varphi}=-\frac{mgr^2}{L}\,\varphi=-D^\star\varphi. \)
Ez arányos az elfordulás szögével, az arányossági tényező:
\(\displaystyle D^\star=\frac{mgr^2}{L}. \)
Megjegyzés. A visszatérítő forgatónyomatékot az erőkből is meghatározhatjuk. A fonalakban fellépő erők nagysága a kis szögek miatt jó közelítéssel a test súlyának fele, és a fonálerő vízszintes komponense hozza létre a forgatónyomatékot:
\(\displaystyle M=-2r\frac{mg}{2}\sin\gamma\approx -mgr\gamma=-\frac{mgr^2}{L}\,\varphi. \)
A torziós inga lengésideje:
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\Theta}{D^\star}}=2\pi\sqrt{\frac{\Theta L}{mgr^2}}, \)
ahol \(\displaystyle \Theta\) a (cukrot is tartalmazó) befőttesüveg tehetetlenségi nyomatéka.
Az üres, \(\displaystyle m_0\) tömegű üveg tehetetlenségi nyomatéka elsősorban az \(\displaystyle r\) sugarú üveg vékony oldalsó falából származik, míg a cukor egy \(\displaystyle r\) sugarú, \(\displaystyle m_{\mathrm{c}}\) tömegű tömör henger. Ez alapján a rendszer teljes tömege és teljes tehetetlenségi nyomatéka:
amiből a periódusidő a tömegekkel kifejezve:
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\left(m_0+\frac{1}{2}m_{\mathrm{c}}\right)r^2L}{(m_0+m_{\mathrm{c}})gr^2}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\,\sqrt{\frac{\left(m_0+\frac{1}{2}m_{\mathrm{c}}\right)}{(m_0+m_{\mathrm{c}})}}. \)
4. ábraMérés. Megmértük az üres üveg torziós rezgésének periódusidejét, majd az üvegbe cukrot töltöttünk, és a mérést megismételtük hat különböző tömeg esetén. (Az utolsó esetben az üveg már teljesen tele volt cukorral.) A pontosabb mérés érdekében minden esetben 10 lengés idejét mérjük, és ezt osztjuk 10-zel. Az 1. táblázatban összegyűjtöttük, a 4. ábrán látható grafikonban pedig ábrázoltuk a mért és az elméleti képlet alapján számított lengésidőt a cukor tömegének függvényében.
4. ábra
Diszkusszió. A mért és az elméleti adatsor hasonló változást mutat: a cukor tömegének növelésével lassan csökken a lengés periódusideje. Ezt az okozza, hogy a cukor beöntésével a \(\displaystyle \Theta/m\) arány csökken.
A mért értékek és az elméleti értékek közötti eltérést elsősorban az okozhatja, hogy az üres üveget egy hengerpalástként modelleztük, pedig az üvegnek egy vastagabb, körlap alakú alja és egy vékonyabb, szintén körlap alakú teteje is van (valamint a fala is véges vastagságú).
Winhoffer Júlia (Pápa, Türr István Gimn. és Koll., 12. évf.)
12 dolgozat érkezett. Helyes 4 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 6, hiányos (1 pont) 1, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
P. 5711. Öt egyforma \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor és egy \(\displaystyle U\) belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.
a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?
b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra cseréljük?
Közli: Németh Róbert, Budapest
