Szerk
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
(5 pont)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
Megoldás. A mozgás két részből áll: egy ingamozgásból és egy ferde hajításból. Az 1. ábrán láthatók a jelölések. (A megfelelő szöget az inga felfelé mozgó részén keressük.)
1. ábra
I. Ingamozgás. A fonál elszakadásakor a test talaj feletti magassága és az egyensúlyi helyzettől való vízszintes távolsága:
A sebessége érintőirányú (így a vízszintessel \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be), nagysága az energiamegmaradás alapján:
II. Ferde hajítás. A ferde hajítás elmozdulás-idő függvényei (az origót az \(\displaystyle O\) pontban, a tengelyeket az ábrán jelölt módon választva):
A földetérés \(\displaystyle t_{\mathrm{f}}\) időpontját az \(\displaystyle y(t_{\mathrm{f}})=0\) egyenlet adja meg. A másodfokú egyenlet pozitív gyöke:
\(\displaystyle t_{\mathrm{f}}=\frac{v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh_0}}{g}, \)
amiből a földetérésig megtett vízszintes elmozdulás:
\(\displaystyle x_{\mathrm{f}}=v_0\cos\alpha\,t_{\mathrm{f}}=\frac{v_0\cos\alpha}{g}\left(v_0\sin\alpha+\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha+2gh_0}\right). \)
Az \(\displaystyle E\) egyensúlyi helyzettől mérve a távolság \(\displaystyle h_0\), \(\displaystyle d_0\) és \(\displaystyle v_0\) kifejezését beírva:
\(\displaystyle d=d_0+x_{\mathrm{f}}=\ell\sin\alpha+2\ell\sin\alpha\cos^2\alpha+\cos\alpha\sqrt{4\ell^2\cos^2\alpha\sin^2\alpha+4\ell^2\cos\alpha(1-\cos\alpha)}. \)
A távolságot \(\displaystyle \ell\) egységekben mérve, és a kifejezést tovább rendezve:
\(\displaystyle \frac{d}{\ell}=\sin\alpha(1+2\cos^2\alpha)+2\cos\alpha\sqrt{\cos\alpha-\cos^4\alpha}. \)
Ennek a kifejezésnek a maximumát keressük. A kifejezés deriválható, de az így kapott egyenlet nagyon bonyolult, csak numerikusan megoldható. Ehelyett érdemes a függvényt grafikusan ábrázolni. A maximumhely és a maximum értéke megkereshető WolframAlpha segítségével (https://www.wolframalpha.com/), vagy le lehet olvasni a függvény grafikonjáról (2. ábra).
2. ábra
A grafikon alapján a maximális távolsághoz tartozó \(\displaystyle \alpha_{\mathrm{max}}\) szög és \(\displaystyle d_{\mathrm{max}}\) távolság:
Vértesi Janka (Debreceni Ady E. Gimn., 12. évf.)
27 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 10, hiányos (1–2 pont) 7, nem értékelt 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
