Megoldásvázlatok a 2026/4. szám matematika gyakorló feladatsorához

Eisner Tímea, Meiszterics Zoltánné (Pécs)

I. rész

1. a) Oldja meg a

\(\displaystyle \sin^2(x)-\cos^2(x)=\frac{1}{2} \)

egyenletet a \(\displaystyle \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right[\) intervallumon!   (7 pont)

b) Oldja meg az

\(\displaystyle \bigl(x^2-x-2\bigr)\cdot \lg(x)=\cos \frac{\pi}{2} \)

egyenletet!   (6 pont)

Megoldás. a) Két megoldást is adunk, mindkettőnél ekvivalens átalakításokat végzünk.

1. megoldás. \(\displaystyle 1-\cos^2(x)-\cos^2(x)=\frac{1}{2}\), innen \(\displaystyle 1-2\cos^2(x)=\frac{1}{2}\), azaz \(\displaystyle \cos^2(x)=\frac{1}{4}\). \(\displaystyle \cos(x)=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle x_{1,2}=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi\) (\(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)) vagy \(\displaystyle \cos x=-\frac{1}{2}\), \(\displaystyle x_{3,4}=\pm\frac{2\pi}{3}+\ell2\pi\) (\(\displaystyle {\ell\in \mathbb{Z}}\)).

Az adott intervallumba eső megoldások \(\displaystyle -\frac \pi3\), \(\displaystyle \frac \pi3\), \(\displaystyle \frac {2\pi}3\) \(\displaystyle \frac {4\pi}3\).

2. megoldás. \(\displaystyle \cos^2(x)-\sin^2(x)=-\frac{1}{2}\), ahonnan \(\displaystyle \cos(2x)=-\frac{1}{2}\). \(\displaystyle 2x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\), \(\displaystyle {x_1=\frac{\pi}{3}+{k}\pi}\) (\(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)) vagy \(\displaystyle 2x=-\frac{2\pi}{3}+\ell 2\pi\), \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{3}+{\ell}\pi\) (\(\displaystyle {\ell\in \mathbb{Z}}\)).

Az adott intervallumba eső megoldások \(\displaystyle -\frac \pi3\), \(\displaystyle \frac \pi3\), \(\displaystyle \frac {2\pi}3\), \(\displaystyle \frac {4\pi}3\).

b) Az egyenlet értelmezési tartománya \(\displaystyle \mathbb{R}^+\). Mivel \(\displaystyle \cos\frac{\pi }{2}=0\), így az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x^2-x-2=0\) vagy \(\displaystyle \lg x=0\). Az \(\displaystyle x^2-x-2=0\) egyenlet gyökei \(\displaystyle x_1=-1\), \(\displaystyle x_2=2\), és az \(\displaystyle \lg x=0\) egyenlet csak \(\displaystyle x_3=1\) esetén teljesül. Összevetve az értelmezési tartománnyal, az egyenlet megoldásai: \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\), amelyek valóban kielégítik az eredeti egyenletet.

2. a) Tamás százkötetes könyvtára magyar, angol és német nyelvű könyvekből áll. A könyvek \(\displaystyle p\)%-a magyar nyelvű, az idegen nyelvű könyvek \(\displaystyle p\)%-a angol nyelvű; német nyelvű könyv mindössze egy van. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek számát!   (6 pont)

b) Adja meg azon mértani sorozatok hányadosát, amelyeknek első tagjuk \(\displaystyle 1\), és bármely tagjuk a rákövetkező két tag számtani közepével egyenlő!   (7 pont)

Megoldás. a) A magyar nyelvű könyvek száma \(\displaystyle p\), az angol nyelvű könyvek száma \(\displaystyle (100-p)\cdot \frac{p}{100}\), a német nyelvű könyvek száma \(\displaystyle 1\). A feladat szövege alapján

\(\displaystyle p+(100-p)\cdot \frac{p}{100}+1=100. \)

Ekvivalens átalakítással a \(\displaystyle p^2-200p+9900=0\) egyenlethez jutunk. Az egyenlet gyökei \(\displaystyle p=90\) és \(\displaystyle p=110\). Mivel \(\displaystyle p\in \left]0;100\right[\), így a helyes gyök \(\displaystyle p=90\). A magyar nyelvű könyvek száma \(\displaystyle 90\), az angol nyelvű könyvek száma \(\displaystyle 9\). Ekkor valóban a maradék nem magyar nyelvű \(\displaystyle 10\) könyv \(\displaystyle 90\%\)-a angol nyelvű.

II. rész

5. A Pécs közelében található híres Rotary körsétány jó közelítéssel egy körvonalon halad, amelynek egyenlete a térképre helyezett koordináta-rendszerben

\(\displaystyle x^{2}+y^{2}-6x-4y-12=0. \)

a) Mekkora a körsétány száz méterre kerekített hossza, ha a koordináta-rendszer egysége \(\displaystyle 200\) méter?   (4 pont)

A körsétány legnépszerűbb bejárata a térkép \(\displaystyle (6;-2)\) pontjában van, a legtöbben itt csatlakoznak be a körsétányba, egyben itt található egy kilátó. A város további kilátókat szeretne építeni, hogy a túrázók több irányból gyönyörködhessenek a panorámában. A tervezők úgy döntöttek, hogy a meglévő mellé további három kilátót helyeznek el a körsétány mentén úgy, hogy ezek egy négyzet csúcsain álljanak.

b) Határozza meg a másik három kilátó koordinátáit!   (9 pont)

Miklós újévi fogadalmát megtartva 2026 januárjától kezdve havonta teljesítette a Rotary körsétát. Minden alkalommal feljegyezte, hogy mennyi idő alatt ért körbe. Az első három hónapban átlagosan 2 óra 8 perc alatt teljesítette a távot, a következő öt hónapban 2 óra 4 perc alatt.

c) Milyen átlagot kell elérnie az utolsó négy hónapban, hogy az egész évre (12 hónapra) vonatkozóan átlagosan 2 óra alatt teljesítse a Rotary körtúrát?   (3 pont)

Megoldás. Teljes négyzetté alakítással kapjuk, hogy \(\displaystyle (x-3)^2+(y-2)^2=25\), tehát a kör sugara \(\displaystyle 5\) egység. Kerülete \(\displaystyle K=2r\pi =10\pi\) egység, azaz \(\displaystyle 2000\pi~\text{m}\approx 6300\) m.