A P. 5737. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)

(5 pont)

Közli: Cserti József, Budapest

I. megoldás.

1. ábra

Vizsgáljuk a mozgást egy \(\displaystyle v_0\) sebességgel mozgó inerciarendszerben. A feladat megoldásához a tükörtöltések módszerét alkalmazzuk, melynek lényege, hogy a végtelen kiterjedésű, földelt lap úgy hat a tőle \(\displaystyle z\) távolságban lévő ponttöltésre, mintha a ponttöltéstől \(\displaystyle 2z\) távolságban egy azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés lenne (1. ábra).

Ez alapján a ponttöltésre ható erő:

\(\displaystyle F=-k\frac{Q^2}{(2z)^2}=-k\frac{\frac{Q}{4}\cdot Q}{z^2}, \)

azaz a lap úgy viselkedik, mintha a lap töltés alatti helyén egy rögzített, \(\displaystyle -\tfrac{Q}{4}\) nagyságú ponttöltés lenne.

Az elektrosztatikus kölcsönhatás összefüggése ugyanolyan alakú, mint a gravitációs vonzásé, így a rögzített töltés terében a test ugyanolyan módon mozog, mint egy bolygó a csillaga körül. A feladat annak meghatározása, hogy a (mozgó vonatkoztatási rendszerben) nyugalmi helyzetből elengedett test mekkora \(\displaystyle \tau\) idő alatt csapódik a rögzített testhez.

Kepler III. törvénye szerint egy bolygó keringési ideje egy adott csillag körül csak a fél nagytengely (\(\displaystyle a\)) nagyságától függ, és \(\displaystyle T^2/a^3=\textrm{állandó}\). A vizsgált mozgás felfogható úgy, mint egy elfajult ellipszispálya, melynek fél nagytengelye \(\displaystyle a=d/2\). Ezen a \(\displaystyle T\) keringési idő ugyanakkora, mint egy \(\displaystyle r=d/2\) sugarú körpályán (2. ábra).

2. ábra

A körpályán a keringési idő a felírt erőtörvény alapján:

A becsapódásig a test egy fél periódust fut be, így a keresett becsapódási idő:

\(\displaystyle \tau=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}, \)

a vízszintes irányú elmozdulás pedig:

\(\displaystyle \ell=v_0\tau=\pi v_0\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}. \)

Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)

II. megoldás. Az előző megoldással megegyezően ismét a tükörtöltések módszerét használjuk. Ez alapján felírhatjuk a ponttöltés lapra merőleges irányú mozgásegyenletét:

\(\displaystyle m\ddot{z}=-k\frac{Q^2}{z^2}. \)

Az egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg \(\displaystyle \dot{z}\)-tal, majd integráljunk \(\displaystyle t\) szerint:

\(\displaystyle \int\limits_0^tm\dot{z}\ddot{z}\mathrm{d}t=\int\limits_0^t-k\frac{Q^2}{z^2}\dot{z}\mathrm{d}t. \)

A \(\displaystyle z\) irányú sebesség kezdetben 0, a \(\displaystyle z\) koordináta pedig \(\displaystyle d\), így:

\(\displaystyle \frac{1}{2}m\dot{z}^2=k\frac{Q^2}{4}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{d}\right). \)

Innen kifejezzük \(\displaystyle \dot{z}\)-ot:

\(\displaystyle \dot{z}=-\sqrt{\frac{kQ^2}{2md}}\sqrt{\frac{d-z}{z}}. \)

Válasszuk szét a változókat, majd integráljunk (\(\displaystyle z\) esetében a határokat felcseréljük):

\(\displaystyle \int\limits_0^\tau\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{2md}{kQ^2}}\int\limits_0^d\sqrt{\frac{z}{d-z}}\mathrm{d}z. \)

A jobb oldali integrál az új \(\displaystyle \zeta=\tfrac{z}{d}\) ismeretlen bevezetésével átalakítható:

\(\displaystyle \int\limits_0^d\sqrt{\frac{z}{d-z}}\mathrm{d}z=d\int\limits_0^1\sqrt{\frac{\zeta}{1-\zeta}}\mathrm{d}\zeta, \)

az így kapott határozott integrál értéke táblázatok alapján:

\(\displaystyle \int\limits_0^1\sqrt{\frac{\zeta}{1-\zeta}}\mathrm{d}\zeta=\frac{\pi}{2}. \)

Ezt felhasználva a becsapódásig eltelő idő

\(\displaystyle \tau=\frac{\pi d}{2}\sqrt{\frac{2md}{kQ^2}}=\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}. \)

A vízszintes irányú elmozdulás innen egyszerűen kiszámolható \(\displaystyle v_0\) ismeretében:

\(\displaystyle \ell=v_0\tau=\pi v_0\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0md^3}{Q^2}}. \)

Mezei Marcell (Debreceni Fazekas Mihály Gimn., 10. évf.)

14 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 3, hiányos (1–3 pont) 3, hibás 1, nem értékelt 1 dolgozat.